EF' X FD' — FF' X A'E

Nous engageons le lecteur à faire des applications numériques qui n^ofirent d'ailleurs aucune difficulté.

193. Le produit de deux lignes, a, 5> c'est-à-dire le produit des nombres qui expriment ces lignes ^ a maintenant pour nous une signification géométrique précise; il exprime Taire du rectangle construit avec ces deux lignes, a et h, pour base et pour hauteur.

Le carré a* d'une ligne a, c'est-à-dire le carré du nombre qui exprime la longueur de a exprime Taire du carré ayant cette ligne a pour côté.

D'après cela, nous pouvons donner une signification géométrique aux formules du Livre III qui renferment des produits de lignes et des carrés.

194. La formule {a + bY=^a^ + b* + ^ab (i), démontre ce théorème :

Le carré construit sur la^Sfmtne de dmiX lignes est égal à la Mmnê dés cûn^s cmsîruits sur ces deux lignes , plus deux fais le fUetnngie qmi aurait ces mêmes lignes pour côtés.

Heu qué Tégalité (1) n'ait été démontrée qu'en arithmétique ou en algèbre, la vérité de la proposition de géométrie que nous

1â8 COURS DE GÉOMÉTRIE.

venons d'énoncer est parfaitement démontrée par cette égalité. Il suflSt de considérer les aires que ses différents termes représentent dans rhypothèse où a et 6 sont des nombres exprimant les longueurs de deux lignes a et 6.

A ce point de vue, Tégalité (1) exprime évidemment que l'aire du carré construit sur la somme des deux lignes^ (flt + 6)', est égale à Taire du carré construit sur la ligne a, [a*), plus Taire du carré construit sur la ligne b, [b^), plus deux fois Taire du rectangle qui aurait pour côtés les lignes a et 6, [2a Xb).

Or c'est ce qui est dit d'une manière plus abrégée dans Ténonoé de la proposition qui nous occupe.

De même la formule (a — 6)* = a* + *>' — 2a X 6 (2), interprétée géométriquement, au point de vue des aires que ses termes représentent , démontre ce théorème :

Le carré construit sur la différence de deux lignes a, b, est égal à la somme des carrés construits sur ces deux lignes moins deux fois le rectangle construit sur ces deux lignes.

De même la formule [a — 6) (a + ^) = <*' — ^^ (2) , prouve que le rectangle construit avec la somme et la différence de deux lignes pour côtés , est égal à la différence des carrés construits sur ces deux lignes,

195, BG, AB, AC étant les valeurs numériques de Thypoténuse et des deux autres côtés d'un triangle rectangle ABC, nous

avons démontré, n° 154, que BC = AB + ^^ • Cette égalité, interprétée comme les précédentes, démontre ce théorème :

Le carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés construits sur les côtés de l'angle droit.

196. UangleB d'un triangle ABC étant aigu, on a trouvé (n° i55) entre les valeurs numériques des côtés AC,AB, BC du triangle et celle de la projection BD de AB sur BC, la relation que voici:

Âiâ* = ÂB* + BC* — 2BC X BD.

Cette égalité démontre ce théorème.

Le carré construit sur le côté d^ûn triangle opposé à un angk aigu est égal à la somme des quarrés construits sur les deux autres côtés f moins deux fois le rectangle construit sur Vun de ces derniers côtés et la projection de Vautre sur celui-là.

LIVKE 1V>

197. L'angle C du triangle ABC étant obtus, on a trouvé, n" 156,

AB = AC + BC + 2BG X CD. Cette égalité démontre la proposition suivante :

Le carré construit sur le côté d'un triangle opposé à un angle obtus est égal â la somme des -carrés construits sur les deux autres y plus deux fois le rectangle construit sur l'un de ces derniers côtés <f la projection de f autre sur celui-là (*).

^•8. Les fomrales que nous venons d'appliquer ont été démontrées par ie calcul et des iconsidérations géométriques. Nous allons en donner des démonstrations purement géométriques. Bien qu'aucune vérification des résultats •obtenus ne soit nécessaire , la concordance des deux méthodes ne pourra que donner au lecteur plus de confiance dans Tapplication du calcul à la géométrie.

IThéorènie*

• Le rectangle construit sur la somme et la différence de deux lignes

h et h, équivaut à la différence des carrés de ces lignes, ,

Soit AB = a, BC=5; AC=o— 5; AC'=aH-5. Je

mène AD=ÀG perpendiculaire sur AB; et j'achève

f le rectangle ADEC = AC X AD = (a -f 5) (o — 5) ;

je prolonge ensuite AD d'une longueur DK=:BG;

«nÏÏn j'achève le carré ABMK ou AB • En comparant ce carré ABMK et le rectangle ADEGS on leur trouve une partie comnmne » ADIB ; on «

ADEC = ADIB + IBC'E.

ABMK — NWM ou Âb' — Bc' = ADIB + KDPN-

Les deux rectangles IBC'E,KDPN sont égaux; car IB=AD=AC et DP=AC ;

d'ailleurs T)K=BC. De ÏBC'E égal à KDPN , on conclut ADEC'= AB* — BC* , ou (a+ b)(o— b)=a»— 6«. C. Q. F. D.

(*} Nous croyons ces démonstrations des théorèmes relatifs aux carrés des côtés d'un triangle conformes au progranune; selon nous, les suivantes ne ^nt pas exigées.

Tliéorèiiie.

Le carre construit sur la somme de deux lignes, êst égal à la somme des carrés construits sur ces lignes, plus deux fois le rectangle qui a ces lignes pour côtés.