AC* = AB* + BC* - 2AB X BC

Ayant construit le carré ABFK sur AB, je construis le carré ACED sur AC, en prenant AD = AC; alors DK = BC. Sur DK = BC, je construis le carré DKLM = BC ; enfin je prolonge CE jusqu*à renc4)ntrer KF en I. La figui« toUle ABFLMDA = ABFK + DKLM = Âb' + BC\ Or, si de cette figure totale on retranche (on efface) les deux rectangles CBIF, MEIL, il reste le cane fait sur AC -, AC* est donc égal à ÂB* + BC* moins ces deux rectanjles; or, ICBF = 1CXBC=ABXBC; ME1L=:MEXML = ABXBC; donc AC* = ÂB* + BC* — 2AB X BC. C. Q. F. D.

Théorèiiie.

, Le carré construit sur Vhgpoténuse d'un triangle rectangle est égal

à la somme des carrés construits sur les côtés de Vangle droit.

Je construis un carré sur chaque côté du P triangle. Du point A j'abaisse sur l'hypoténuse BC la perpendiculaire AI que je prolonge jusqu'à la rencontre de DE en H; je joins AD, MC. L'angle MBC=MBA+ ABC = idr.4. ABC ; de même l'angle ABD=l<r.4. ABC ; donc l'angle MBC = ABD. Cela posé , les dea\ triangles BAD, BMC sont égaux conune ayant un angle égal, ABD = MBC, compris entre des côtés égaux chacun à chacun, savoir:

LIVRS IT. 131

AB=MB (côtés d'an même carré), BD = BG ftd^m). Mais le triangle ABD et le rectaogle BIHD ont même base BD et aiéme hauteur ; car IB égale la per* pendiculaire abaissée du sommet A sur BD prolongée ; le triangle ABD équi- Tant donc à la moitié du rectangle (»» 188). JOe même le triangle MBG et le carré HBAN ont même base MB et même hauteur; car la perpendiculaire abaissée de G sur MB prolongée est égale à AB (NAG parallèle à MB). Le triangle MBG équivaut à la moitié du- carré (F. leurs mesures). Or, le triangle ABD est égal au triangle MBG; donc U moitié du rectangle équivaut à la moitié du carré ; donc AB = BIHD. On démontrerait de même que le tané AGPQ (»t^ équivalent au r^cUiigleJ^G.JBn r^umé, BIHD=:ÂB*, IHEC = ÂC*; BG* = BIHD -f iHEG ; donc BG* = AB* + ÂC*. G. Q. F. D. GoROLLAiRES. Les rectauglcs BIHD, IHEG ayant même hauteur IH, sont entre

eux dans le même rapport que leurs bases „ ■■ ■ = t- ;

IHEG IG

ÂB* Bl donc =: — . '

Âc* »c

Les carrés construits sur les côtés de Vanglc droU sont entre eux comme les

segments adjacents de l'hypoténuse,

^ ^ ^ BIHD Bl ^ On a de même ■ „- = :=rr;, donc

BDEG BG

ab"* BI

BC' fiC

le carré construit sur Vun des côtés de Vangle droit est au carré construit sur Vhypoténuse comme le segment aé^acent est à l'hypoténuse elle-même.

Quant aux théorèmes relatifs aux carrés construits sur les o6tés des triangles non rectangles, nous ne pourrions que répéter les démonstrations données dans le livre III. Ge sont des conséquences des trois théorèmes qui précèdent. Nous renvoyons au livre III (no» 155 et 156).

Rapport des figures semblables, Tltéorème.