LIVRE IV. i3B
ABC CAD DAF AFË abc Ciid 4af afe
Faisant la somme des nmnérateurs d'une part, et la somme des dénominateurs de l'autre^ on a d'après un théorème d'arithmétique .
ABC+CAD + DAE + AFE ABC ^\ , ABCDEF
ab€'{-cad-['d<ie-^afe abc ^ ' abcdef
bc
Tltéorèmc*
205. L'aiî^e d'un polygone régulier est égale au produit de son périmètre par la moitié de son apothème.
Soit par ex.: l'hexagone régulier ABCDEF; je joins le centre
aux sonmiets A et B, et j'abaisse 01 perpendiculaire à AB ; la surface du polygone se compose de six triangles AOB ; or AOB == AB X
- 01; donc l'aire du polygone égale 6ABX - 01 ;
^ ^ ce qui est précisément le périmètre (6AB), mul-
tiplié par la moitié de l'apothème.
Ex. : Trouver la surface d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle dont le rayon R=5 mètres.
S = 3ABx0I.
On sait queAB = R = 5; pour connaître 01, on remarque que le triangle OIA étant rectangle, on a
Donc S = ^ — ; on évalue v/75 approximativement.
!t06. Vaire d'un cercle est égale à sa circonf&ence multipliée par la moitié du rayon.
InscrivcMis uu polygone régulier dans le cercle ; soit S Faire de ce polygone , p son périmètre et a son apothème. On a vu que
Supposons qu'on double indéfiniment le nombre des côtés de ce polygone; à mesure que le nombre des côtés augmente, le périmètre diffère de moins en moins de la circonférence, Tapothème du rayon , et Taire du polygone de Taire du cercle. Comme au nM77 , la considération de ces polygones conduit i. cette trij^ conclusion :
La circonférence est la limite vers laquelle tçnd le périmètre d'un polygone régulier dont on double indéfiniment le iwmbre des côtés. Le cercle est la limite de Vaire des mêmes polygones , et le rayon est la limite de son apothème.
Comme Tégaiité (1) est vraie, quel que soit le nombre des côtés du polygone, elle s'applique encore quand on arrive à la limite; mais alors S devenant cercle R , p , cire. R , et a égal à R , on a :
cercle R = cire. R X -r-. (1 )
1'® Remarque. Circ. R = 27rR: donc cercle R = StiR X ;r = ^R^
Pour obtenir Vaire d'un cercle de rayon donné , il sufflt de multiplier le carré du rayon par le rapport constant it de la circonférence au diamètre.
Corollaire. Les aires de deux cercles sont entre elles comme les carrés de leurs rayons.
En effet , cercle R = irR^ ; cercle R' = ttR'».
^ cercle R nh} R' ^ . ^ r^
^^^^ r-Tn = -t^ = i^- C.Q.F.D.
cercle R' ttR" R'« ^
