LIVRE IV

Tltéerènte.

207. Laire d^un secteur est égale à la longueur de son arc multipliée par la moitié du rayon.

Pour le démontrer, je divise l'arc AE en un certain nombre de

parties égales , quatre , par exv : je mène les cordes des arcs partiels, et je joins les points de division au centre. J'obtiens ainsi quatre triangles isocèles; E Taire de chaque triangle est égale à sa base multipliée par la moitié de l'apothème 01 ; la somme ies aires de tous les triangles , c'est-à-dire l'aire du secteur polygonal , égale 4AB x ^ 01 = périm. ABCDE X 5 01 (d ).

On peut doubler indéfiniment le nombre des côtés de la ligne inscrite; l'égalité (i) est toujours vraie, quelque grand que soit le nombre des côtés. A la limite, l'arc AE pouvant être considéré somme une ligne polygonale d'un très-grand nombre de côtés infiniment petits , le secteur OAE peut être considéré comme un secteur polygonal ayant Tare pour base , et le rayon pour apothème. L'aire du secteur est donc égale à la longueur de son arc multiplié par la moitié du rayon. C. Q. F. D.