MO* 4- OP’ 4 MN* 4- NP* = ON* 4- MP

N° 281. Théorème XVII. Fig. a36.

Dans tout quadrilatère MNOP, la somme des carrés des côtés fig.^30. est équivalente à la somme des carrés tics diagonales, ON, MP, plus quatre fois le carré de la droite IK qui j niât les milieux de ces diagonales.

En effet, si l'on mène les droites MI , PI , on a d'abord (n« 379) :

l* dans le triangle MON MO’ -h MN* = 3.01* 4- 3. MI’,

3° dans le triangle PON OP* -t- NP* = 3.01* 4- 3. PI»,

et enfin — 3° dans le triangle I.Y1P... MI* 4- PI’ — î.MK’+ 3, IK*.

Maintenant, doublant la dernière de ces trois égalités; ajoutant, membre à membre, le résultat arec les deux premières; et supprimant, de panel d'autre, les tenues communs a. MI* et 3. PI*, on obtient MO» 4- OP* 4- MN’ 4- NP* = 4 . 01* 4- 1 . MK’ 4- 4 . IK*.

Enfin, observant que 4-01» =0N* et 4- MK* — MP’, ou conclut, conformément h l’énoncé ,