MO» 4- OP* 4- MN’ 4- NP* = ON» + MP’ 4- 4-1K

ai8 SIMIL. ; COiSSÉQ. ; TRUléGLE.

N° 282. Problème. Fig. s3a et 233.

Fig. a3a Exprimer les hauteurs d'un triangle ABC en Jonction des trois côtés : cta33. [AB = C) CA = 4, BC = a].

Supposons que l’on veuille trouver la valeur de la hauteur CD correspondant an côte' c pris pour base; Représentons par h cette hauteur ; et faisons de plus AD — d. — Le triangle ACD nous donnera d’abord À* = b‘ — d*.

Nous aurons ensuite, pour le carré du côté BC oppose & l’angle aigu A

dans le triangle ABC (n* 377) :

a» = 4*-t-e* — ned, don d = — .

Et de Ut il résulte :

fb'-bc‘ — a» V 4 4»c* — (i*-4-c* —a1)»

... (aie -4-4* -4- e* — «•) (aie — 6* — c*-4-o*)

ou enfin n*= ' •— ■ / — - ■ ■

Maintenant , faisons pour simplifier,

a + b -f- o — as ;

s sera la demi-somme des côtés du triangle; et nous aurons 4-4-c — a = a(s — a), e-f-a — i — a (1 — b), a -f- 6 — c =■ a (s — c) j

d’où il suit :

et par conséquent h = î|/ s(s — a) [s — b) (s — c).

De la résulte la règle suivante :

Pour avoir l’une des hauteurs d'un triangle : — 1° Faites la demisomme des côtes ; — a» Retranchez de cette demi-somme chacun des côtés en particulier ; — 3° Faites le produit des quatre nombres ainsi obtenus ; 1— 4* Extrayez la racine carrée de ce produit; — 5« Multipliez par a et divisez par te côté pris pour base.

Scolie. — Les quantités s — a, s— b, s — c, étant essentiellement positives (n° 8o), la valeur de h est toujours réelle.

(*) D’après la formule (p “h q) (p q} ~ P’ — <?*, et celles des pages 314 «l 3*5 (notes).

u*. Il; CHAP. i; § lu. 219

§111. — Autres Conséquences. — Figures Circulaires. ... N° a83. Théorème XVIII. Fig. aZq et a38.

Les segmens de deux droites quelconques , AC , BD , com- Fig. 2^7 pris entre un point P et une circonférence ABCD , sont réciproquement proportionnels : c’est-à-dire que l’on a

pa : pb pd : pc.

Il y a deux cas à distinguer : celui où le point P est inte'rieur (fig. 237) à la circonférence, et celui où il lui est extérieur (fig. 238) ; mais la même démonstration s’applique aux deux cas.

Soient donc deux droites quelconques menées par le point P et coupant la circonférence , respectivement, en A et C, en B et D. Si l’on mène AD, BC, les deux triangles APD , BPO, qui en résultent, sont semblables : en effet, l’angle P est le même; et les angles A, B, sont égaux (n° i5i , coroll. , 2).

De là on conclut la proportion énoncée.

Scolie 1". — De cette proportion l’on tire l’égalité

PA X PC = PB X PD, que l’on peut énoncer de la manière suivante:

Les distances d'un même point P aux divers points dune circonférence ABCD, forment, deux à deux, en les prenant sur la même direction ( n° 8) , des produits constans.

Scol. 2. — La proposition est également applicable au cas où, le point P étant extérieur, l’une des droites PB (fig. 239) Fig.i3f>, serait tangente à la circonférence. Seulement , il faut observer que dans ce cas, le point D se confondant avec le point B , la proportion deviendrait continue.

Scol. 3. — Les droites AD, BC (fig. 23^ et 238), qui sont Fig. rtj également inclinées, mais en sens inverse, sur les eûtes de — l’angle APD, sont dites anti- parallèles relativement à cet angle ; il en est de même dés droites AB, BC (fig. 239), par rapport à l’angle APB.

LIT. Il ; CHAP. I ; § III. —

337 Scol. 4- — On a coûtante de nommer particulièrement sé— x<0’ cante, la plus grande, PA, des deux distances PA, PC (fig. a38 et 23g) ; partie extérieure de la sécante, la plus petite distance PC; et enfin tangente, la distance PB (fig. 23g). — Alors l’énonce ge'néral ci-dessus se partage dans les suivans :

i* Les segmens des cordes qui se coupent en un même point intérieur P (fig. 237 ) , sont inversement proportionnels ;

20 Les sécantes issues d’un meme point P ( fig. 238) sont inversement proportionnelles à leurs parties extérieures ;

3° L'ne tangente est moyenne proportionnelle entre une sécante issue du même point P (fig. 23g), et sa partie extérieure ;

4“ Les deux tangentes , PA, PB (fig. 240) , issues dC un même point P sont égales : — [cette dernière proposition a déjà été établie au numéro i5a ( scol .)].

Réciproques qui se déduisent du principe établi au numéro S 1 :

Les points A et C, B et D, étant supposés deux à deux sur une même droite passant par le point B : i° Si l’on a la proportion

PA : PB “ PD : PC ( fig. 237 et 238) ,

les quatre poiuts A, B, C, D, sont sur une même circonfé l rente ;

20 Si l’on a

pa : pb :: PB : pc (fig. 239),

la circonférence qui passe par les trois points A, B, C, touche PB en B ;

3° Si l’on a , de mcine ,

pa : pb :: pb : pc (fig. 23g),

la circonférence qui , touchant PB en B , passe par l’un des • deux poiuts A, C, passe aussi par l’autre;

4° Si l’on a

PA = PB (fig. 240),

la circonférence qui , passant par les points A et B. louche l'uue des droites PA et PB, louche aussi l’autre.

DIViS. fclf MOYENNE ET EXTRÊME. 221

U° a84- Remarque sur la division des droites en moyenne et extrême raison. -—Le théorème précédent présente un cas remarquable : celui où la tangente est égale à la partie intérieure de la sécante , et plus particulièrement celui où , la sécante PA (fig. 24« ) passant par le centre, la droite PB e*4 une tangente égale au diamètre AC. La sécante PA se trouve alors partagée au point C en moyenne [AC] et extrême [PC] (*) .

De plus, comme on a , par suite de PB = AC, la proportion

ap : ac :: PB : PC,

il s’ensuit que PC est aussi égal au plus grand segment de la tangente PB supposée partagée de même en moyenne et extrême raison.

[C’est d’ailleurs ce que l’on peut prouver directement; car, de la proportion précédente on tire

ap — ac : ac :: pb — pc : pc,

ou bien PC : PB ” PB — PC : PC,

ou enfin . PB : PC ” PC ; PB — PC; ce qui démontre la proposition.]

Ainsi, en rabattant PC sur PB, c’est-à-dire en décrivant,

(#) Nous croyons devoir rappeler ici, qu'une quantité de nature quelconque est dite partagée en moyenne et extiéme [on ajoute, à tort, le mot raison] y lorsque l'une de ses deux parties est moyenne proportionnelle entre la quantité entière et l'autre partie , qni se trouve, par conséquent , la pins petite des denx.

Nous ajouterons — lo qu’/f n'y a qu'un seul système de parties qui satisfasse h cette définition : — puisque le carre' de la moyenne ne pourrait varier sans que le produit des extrêmes variât en sens inverse ;

3o Que — Lorsque déti r quantités sont partagées chacune séparément en moyenne et extrême , elles sorti partagées proportionnellement entre elles ; — 1 et réciproquement ;

D’où il suit qne — Si de la plus grande partie d’une quantité partagée en moyenne et extrême , on retranche la plus petite , cette plus grande partie sera partagée de même ; — et ainsi de suite h l’infini.

Et pareillement Si l'on ajoute a la quantité totale , sa plus grande partie y la somme obtenue sera partagée de même, et aura pour plus grande partie la quantité primitive ; — etc. , etc.