NOTIONS GÉNÉRALES

de Longueur, suivaut que celte étendue est la grandeur d’un espace, d’uue surface , ou d’une ligne.

Ainsi la longueur d’une ligne , ou l 'étendue linéaire , n’est autre chose que la grandeur de cette ligne, gtandeur que l’on évalue ou <lue 1,<)n "»«"* ««» la rapportant ou en la comtmram à une unité de ligne. - De même, l’é* d’une surface, ou 1 étendue superficielle , est la grandeur de cette surface , dont la valeur numérique s’exprime en unités de surface. — Enfin le volume ou X étendue d’un espace [ou d’un corps] est identiquement la même chose que la grandeur de cet espace ; et on 1 évalue en unités d’espace. — (*)

Quant aux figures, elles portent des noms très divers que nous ferons connaître par la suite.

La GÉOMÉTRIE est la science qui s’occupe de ces deux principaux objets : les Propriétés des différentes sortes de Figures , et la Mesure des trois espèces d’ÉTENDUE don-t nous venons d’indiquer l'existence.

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N° 3. Deux figures peuvent avoir la même grandeur sans avoir necessa.ren.ent la même forme : dans ce cas, elles sont dites équivalentes.

r: I Dan. plusieurs Traite. de Géométrie, ou emploie, pour déjouer l’eten due des lignes, des surface., ou de. eorp., le. dénomination. d'étendue h une

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largeur] , ou d étendue 1 trois dimension, [ la longueur, |. lar„eur ,, |a hauteur que I ou nomme au„i épais, sur on profondeur]. Mai. nous âvon. cru devoir omettre ici ce. dénomination., J cau.e de l’impossibilité d’en ren-

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L’étendue eu encore dite finie lorsqn 'elle correspond à une figure bornée de toute, pan, ou complètement définie; - au contraire , l’étendue e« d7t* infime quand la ligure q... lu. appartient est indéfini, , ou n’ct pa. entière pour Ïw “ r*pr«*ion. infini et indéfini .'emploient soureu, l’une

Deux étendues pcuventavoirla même forme sans avoir nécessairement la même grandeur: alors elles sont dites semblables.

Enfin , deux figures ou deux étendues peuvent être superpo sables , c’est-à-dire être telles qu’on puisse les placer l’una sur l’autre, ou l’une dans l’autre, de manière à les faire coïncider ou se confondre parfaitement ; elles sont alors tout-à-la-fois équivalentes et semblables , puisqu’elles ont en même temps la même grandeur et la même forme : on exprime cette double circonstance en disant que les deux figures ou les deux étendues sont égales {*).

Il faut observer toutefois, que les fientes ne peuvent être considérées comme superposables , qu’autant que l’on fait abstraction de leur matérialité (nnmsro i*r) ou impénétrabilité [du moins lorsqu'elles ne sont pas de nature h être contenues sur une même surface]. Nous avertissons donc une fois pour tontes , que ce n’est point, h proprement parler, des corps cuire r in es qu’il sera question dans re Cours, mais des espaces qu’ils occupent; et ces espaces seront toujours regardés comme pouvant se pénétrer mutuellement.

N° 4- l‘e point n'a ni ftgure ni étendue;

Et c’est là surtout ce qui le distingue des autres objets de la Géométrie, qui sont tous descripliblcs et mesurables. Néanmoins, comme on'a souvent besoin de considérer un ou plusieurs points isolés, on convient de désigner chacun d’eux par une légère marque faite avec un crayon , une plume , ou tout autre instrument taillé en pointe , et propre à laisser une empreinte sur une surface donnée. Mais cette marque est censée n’affecter aucune forme déterminée ; et son étendue doit toujours être considérée comme rigoureusement nullef*).

(*) Al. B. — Le signe = , bien que s'énonçant : égale (voyez, n;t commencement de l'ouvrage, le tableau des Signes et abréviations ), ne se rapporte, quanti on l'applique aux figures, qti'h leur équivalence, et nullement à leur égalité absolue. Cependant son emploi ne peut induire en erreur, d'abord parce que l'équivalence de deux ligures n'est autre chose que l'égalité' de* deux nombres qui servent de mesure h leur commune étendoe (n<> a), et ensuite parce qu’On ne se sert jamais du signe — pour désigner l'égalité géométrique proprement dite, c'est-à-dire pour exprimer que deux figures sont superposable».

(*♦) V'oyiz la note de la page 1 , ainsi que le numéro a.

DE LA LIGNE DllOITE.

D’ailleurs, pour distinguer les uns des autres les différons points de l’espace , on place à côté de chacun d’eux , ou h côte' de la marque qui le représente aux yeux , une lettre qui sert à Yénoneer dans le discours ; c’est ainsi qu’on dit :

le point A , le point B , le point C ( figure ir* ). — Lorsqu’il

existe entx-e plusieurs points, une analogie quelconque, on les désigne par les mêmes lettres , en ayant soin de distinguer ces lettres les unes des autres par des caractèresd’écrituredifférens, ou bien par un ou par plusieurs accens que l’on place au haut et à la droite de cliacuuc d’elles, de la manière suivante : A', A", A*... ; ce qui s’énonce ainsi : A prime , A seconde , A tierce...

[Au surplus, quand, au lieu dé désigner un point, quelque lettre de l’alphabet sera employée h représenter la valeur numérique d’une ligne (n° 2 — voyez aussi le tableau des Signes et abréviations) , ou de toute autre quantité rapportée à une unité, nous aurons soin de faire en sorte que le sens du discours l’indique toujours d’une manière non équivoque. ]

l iK. i«.

De la Ligne Droite.

N° 5. De toutes les lignes don ton s’occupe en Géométrie, la plus simple est la ligne appelée droite. — Pour en donner une idée, concevons qu’un point isolé de l’espace (n° 4) [ matérialisé par la pensée] se meuve vers un autre point séparé du premier par un intervalle quelconque, en suivant, pour franchir cet intervalle, le plus court de tous les chemins, en nombre infini, qui peuvent mener de la position primitive du premier point à la position du second. La route ainsi parcourue par le point supposé mobile, sera ce que l’on nomme une ligne droite, ou simplement, une Droite (*) , dont on se borne ordinairement

(*) sùbûta «fiVatTO ypyxfAKf , f»? t* «i/t* vtp*

: — Archimède définit la ligna droite en disant que c'est la plus tourte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités — [PnocEüS, Commentaire sur le premier livre (TEüClidk , Livre li ).

à dire , d’après Archimède , que c’est le plus court chemin d'un point à un autre. — Mais cette notion deviendra plus claire et plus générale, si nous disons, d’une manière moins concise,

Fîi». a, que la ligne droite est une ligne indéfinie, LMNO (fig. 2),

que nous nous représentons comme ayant la propriété d’être exclusivement celle qu'il faut suivre pour franchir par le plus court chemin, l intervalle qui sépare deux quelconques de ses points , L et M , L et N , L et O , M et O , N et O , . . . pris partout où l’on voudra sur son étendue illimitée. — (*)

Toute ligne droite, MN, doit donc être, par la pensée,.

prolongée indéfiniment dans les deux sens , MNO , NML....,

à moins qu’en vertu de circonstances particulières, cette ligne ne se trouve limitée, soit dans les deux sens, soit dans un seul. — Lorsqu’une droite sera terminée en deux points, M, N, nous dirons qu’elle est déterminée de longueur et que MN en est un segment; et quant aux portions ou moitiés de droite INO..., 1ML..., limitées dans un sens en un point I et illimitées dans l'autre , nous les nommerons des segmens indéfinis de droite.

N°6. On appelle ligne polygonale , ou Ligne Brisée, toute Fig. 3. ligne , ABCDEF ( fig. 3 ) , composée de segmens consécutifs de droites , AB , ’BC , CD , DE , EF, ayant , deux à deux , une extrémité commune. — Ces segmens de droites , que l’on suppose limités aux points de rencontre, B, C, D, E, se nomment les côtés de la figure.

(*) Telle est, par exemple, la forme qu'affecte naturellement un fil abandonné '1 lui- même , lorsque Tune de ses extrémités a été préalablement fixée, et qu’4 l'autre est attaché un corps pesant.

Telle est encore la ligne que suit le plus ordinairement la lumière, pour Tenir du corps lumineux ît notre œil; et c’est ainsi que, suivant Platon, Im ligne droite est celle dont les extrémités sont cachées par les points intermédiaires: — rUarar tigtflfvres ri* sàSsîar yfxpftif , ïc t k pi n tci'j dxftuc ieirfteiii — (Proclus, h l’eniltoit cité).

On peut encore se figurer la ligne droite comme ta seule susceptible de tourner sur elle-même sans changer de position dans l’espace.