AD X BI = AB X DC

Par une raison semblable , les triangles ADB , ACI , donneront AD : DB :: AC : CI,

d’où , ,

AD x Cl = AC x DB.

Maintenant, en ajoutant ces deux résultats membre 4 membre, nous obtiendrons :

AD x BC=AB xDC + ACxDBi

Scolie t*r. — On a aussi

AB : AD AI: AC; d’où AB x AC = AD x AI.

Dans le cas particulier où AD est un diamètre, alors AB étant perpendiculaire 4 BD, Al est aussi perpendiculaire 4 BC. Et en considérant le cercla ABDC comme circonscrit au triangle ABC, on pent en conclnrc que

Dans tout triangle ABC , le produit de deux cités , AB , AC , est égal au produit du diamètre du cercle circonscrit , par la hauteur qui correspond au troisième cité supposé pris pour base .

Seol. a. — Le théorème précédent porte le nom de PTOtixiE qui en est l’inventeur.

quadrii,. inscript.

N° 287. Théorème XX. Fig. 244»

Fig. a44* Dans tout quadrilatère inscriplible ABCD , les diagonales sont proportionnelles aux sommes des produits des câlét qui aboutissent ensemble a leurs extrémités : c’cst-i-dire que l’on a

AD : BC :: AB * AC + DB x I)C : BA xBD + CAx CD.

Prenons, dn même côte' «le la diagonale AD , l’are AG — DC, d’on l’arc DG — AC ; et menonsBG. En considérant le quadrilatère ABGD ainsi formé, noua aurons, d'après le théorème précédent (uo a SG) :

AD x BG = AB xDG + AGx DB, ou AD x BG = AB x AC-f-DB x DC.

Prenons pareillement, du même rôle de la diagonale BC , l’arc CR —BD, d’où l’arc BR =CD j et menons AR. Nous aurons encore, dans te quadrilatèreCAKB,

CB x AK = CA x BR -+• CK x BA, ou CB x AR = CA x CD ■+■ BA x BD.

Maintenant, tes cordes BG et AR, aous-tcndant des arcs égaux, sont égales ; donc :

AD : BC :: AB x AC + DB x DG : BA x BD-fCA x CD ;

(*) Voyez nn Mémoire intitulé : — De Quadrilatère circulari obsena— tiones quadam , auctore F.rn. Guil. Grebe j Marburgi, 1 83t.

lfv. il ; chap. il ;; § i.