CHAPITRE II

PROBLÈMES SUR LES LIGNES PROPORTIONNELLES ET SUR LES POLYGONES SEMBLABLES.

§1- — - Problèmes sur les Lignes Proportionnelles, dont

les solutions s’obtiennent principalement par la Ligne Droite.

N“ 288. Problème ï. Fig. 2/^5 et 246.

..A..,*, «W.V\v;. *y • 4 -r.-: -^if

Partager une longueur donnée AB en parties proportionnelles à <f autres longueurs données, Ap (fig. 2^5) [ou ap P*B- »45

( fig- 246)] ,pq> qr, rs, sb. etï46,

• [•' j ty t

Synthèse. — 1'“ Construction. — 1° Menons, par les points A, B (fig. 245) , en sens contraire l’une de l’autre, deux parallèles Ab, Ba (n°‘ 1 54 ou 21 1). — a0 Portons à la suite l’une de l’autre, sur la droite Ab, les longueurs données Ap, pq, qr, rs, sb\ et sur la droite Ba, dans un ordre inverse, les longueurs respectivement égales aux premières, Br', s’r, r’q’, q’p', p'a. — 3° Menons les droites A a, pp’ , qcp , rr , ss‘, bB.

Ces droites [ sans y comprendre la première et la dernière] partageront la longueur AB suivant les conditions données.

En effet, les quadrilatères Ap', pq', qd, rs', rB, étant des parallélogrammes , les segmens de la droite AB sont proportionnels à ceux des droites Ab, aB (n°25g), comme on l’a demandé.

2* Constr. — !• Portons à la suite l’une de l’autre , sur une droite quelconque ab (fig. 246), les longueurs données , ap, Fig. «(G. pq, qr, rs, sb. — 20 Des points a, b , comme centres , et d’un rayon égal k ab, décrivons deux petits arcs de cercle qui sc coupent en un point C. — 3° Tirons aC, bC, ce qui formera

226 lit. h ; ciur. n ; $ i. —

Fig- >46- un triangle équilatéral. — 4° Prenons, sur C a et sur Ci, les longueurs CA. et CB égales à AB. — 5“ Tirons AB. — 6° Joignons par des droites , le point C aux points p, q, r, s; et soient P, Q, B, S, les points où ces droites coupent AB.

Ces derniers seront les points de division cherchés.

En effet, d'après la construction précédente, AB est égale à la droite donnée ( n° 263 ) ; et de plus elle est partagée proportionnellement à ab ( n° 260 , scol.).

Scolie. — La théorie des lignes proportionnelles fournit une foule d’autres moyens de résoudre le même problème. Les deux précédons, qui sont au nombre des plus simples, sont aussi les plus généralement employés.

N° 289, Problème II. Fig. a45 — 248.

Fig- a45 Partager une longueur donnée AB en un certain nombre

— Mg, #

donné de parties égales.

Nous supposerons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse de partager la droite AB (fig. 245-248) en 5 parties égales.

Synthèse. — irt et 2* Constructions. — Comme dans le problème-précédent, en prenant pour les longueurs données, Fig. a45 A p (fig. 245) [ou A p (fig. 246)], des longueurs arbitraires et mais égales entre elles.

3' Çonstr. (*) — 1® Portons, à la suite l’une de l’autre, f «s- sur une droite quelconque A b (fig. 247) menée par le point A, 5 longueurs arbitraires , mais égales entre elles , Ap , pq , qr , rs, sb. — 2® Menons la droite indéfinie ABÆ'.— 3" Marquons, sur là droite bY>b' , le point b' de telle manière, que A// soit égale à Ab. — 4° Menons Ab' . — 5® Portons ,'à partir du point A , sur la droite Ab', les distances Ap' , p'q' , q'r' , ds', s'b', égales entre elles et aux distances Ap, pq, qr, rs, sb. — • 6® Menons les droites pp , qq' , rr ' , ss' ; et soient P, Q , R , S, les points d’intersection de ces droites avec Âih Ces points seront les points de division cherchés.

(*) L’auteur de cc procède c**t M. du Chàtla, capitaine du génie (voyez Ica Annale* (U Mathématiques de M- (ÀfRcoN-if., tome *▼, />a#e im)}.

— PROBL. ; LIGSES PROPORT.; DROITE.

En effet, les triangles kpp' , A qq' . . A bb' , sont tous iso- Fig.a<». cclcs ; et comme ils ont le même angle au sommet A , ils sont par conséquent tous semblables entre eux ( n® 162, coroll. 3).

Il en résulte que les droites pp , qq' bb' y sont parallèles, et par suite que la longueur AB [ainsi que Ab et Ab' ] est partagée en parties égales (n°258).

Scolie. — Plus les longueurs égales au moyen desquelles on aura formé la droite auxiliaire A b , seront considérables , plus les points de division P , Q , R , S , seront exactement déterminés.

Ainsi, il y aurait un inconvénient grave à ce que A b fût moindre que AB : car alors AB ne pourrait être intérieur au triangle Kbb’ .

4* Constr. (*)— i* Portons, à la suite Tune de l’autre, sur uns droite AA Fig. 148. (Gg. a 48', menéepar le point A, 61ongneurs égales quelconques [une de plus que l'on ne veutobtcnirdcdiviiionsdc la droite AB] ; et soient \p,pq, qr, rs,sb, bu, ces 6 longueurs. — la Menons la droite «B, et prolOngeons-la d’nne quantité Bi- égale h Bu. — 3» Menons une droite du point v au quatrième (ou antépénultième’] point de division de la droite Au ; et soit S le point d'intersection de la droite vs avec la droite donnée AB.

BS est la cinquième partie de la droite AB ; — [et par conséquent : ponr diviser AB en 5 parties égales, il suffira de porter 5 fois de suite snr sa direction, de B en A, la longueur BS].

En effet, si l'on mène la droite B b qui sera nécessairement parallèle à S» (n° s5g, rieipr.), on aura (même no)

bs : ba :: aj : aa?

et puisque bs est le cinquième de AA, il s’ensuit que BS est aussi le cinquième de BA. •

Sentie. — Cette construction se simplifie beaucoup lorsque le nombre de divisions demandé est on nombre impair , comme dans le cas actocl : car alors, on peut sccontcntcr de porter sur la droite auxiliaire Au, la moitié du nombre de divisions prescrit par la règle précédente : [ici, re sont les 3 divisions A q, qs, su ; et généralement , le nombre de divisions étant m , le nombre des

longueurs auxiliaires successives sera ], p,ir suite , au lieu de lier le

point v .\ l'antépénultième point de division de Au, c’est h Vaeant-iiemirr, s, qu’on le lie, par la droite m.

(*) Noua sommes redevable de cette construction,! M. Cuesou, proviseur du collège de Metz.

228 L1V. Il; CHAP. Il ; Ç I. —

l\’. B. — Il faut observer encore, que le problème du numéro ioi ( scol. ) , consistant à Trouver le milieu dune droite , n’est qu’un cas particulier du précédent, et que par conséquent on peut lui appliquer les 4 moyens de résolution qui viennent^ d’être exposés.

N” 290. Problème LH. Fig. 249.

Partager une longueur donnée AB, en deux parties proportionnelles à deux longueurs données [ m , n],

[Quoique ce problème soit un cas particulier de celui du numéro 288, nous croyons devoir le traiter séparément, à cause des remarques auxquelles il donne lieu. ]

Synthèse. — Construction. — i0Par l’extrémité A delà droite donnée AB élevons une perpendiculaire AC égale à m (n3 99 ou 190). — a0 Par l’autre extrémité B élevons, en sens inverse de la première , une autre perpendiculaire BD égale à n. — 3° Menons la droite CD qui coupera la droite AB , entre A et B, en un point X.

Le point X est le point de division cherché.

En effet , les deux triangles ACX , BDX , étant semblables , donnent AX ; BX I? AC ; BD m \ n.

Scolie 1". — Il n’est pas nécessaire, pour que la proportion ait lieu, que les droites AC, BD, soient perpendiculaires à AB : il suffit qu’elles soient parallèles entre elles.

Scol. 2. — Le problème précédent peut encore s’énoncer de la manière suivante :

Trouver , sur une droite donnée AB, un point X tel que ses distances respectives à deux points , A , B , de cette droite , soient entre elles dans un rapport donné [celui de m à n].

La question, ainsi posée, est susceptible d’une seconde solution dans laquelle le point de division , X', est situé sur le prolongement de la droite AB. — Pour trouver ce point , élevons la perpendiculaire BD' égale à BD , dans le même

— PROPl,. ; LIGNES PROPORT. ; DROITE. 22g

sens que la perpendiculaire AC. — La droite CD' rencontre le Fig.a^g. prolongement de AB au point cherché X' , ce qui sc prouve comme ci-dessus. , ;•/ - . . ,0 : ,

Le poiut X' est situé du côté 'du point B ou du côté du point A , suivant que m est > ou < que n. — Dans le cas particulier de m = n, le point X' est situé à l'infini, c’est-à-dire que la seconde solution n’a plus lieu.

Scol. 3. — Enfin le problème peut encore sVnoncer ainsi :

Partager une longueur AB en deux segmens additifs ou soustractifs qui soient entre eux dans un rapport donné [m ; /»J.

Scoift 4* La construction du problème précèdent est celle que l’on emploie quand on veut

Trouver les centres de similitude de deux cercles , OA , O' A' (lig 1S0), Fig.a5o. Pour cela on prend , à la place des droites meu, deux rayons parallèles, lesquels doivent être diriges dans le même sens [OA , O' A7] ou en sens contraire [OA, O'u], suivant que l’ou veut obtenir Je centre de similitude externe [SJ ou le centre de similitude interne [s] ( voyez le no 371).

De là résulte encore un nouveau moyen de

Mener les tangentes communes a deux cercles donnés ( voyez les n°» i5g et 371).

N° 29I. PllOBLKME IV.

Trouver une quatrième proportionnelle [ x ] à trois longueurs données [a, b, c; de manière que l’or, ait a :b :: c:x].

Synthèse. — ir* Construction (voyet ci-après , n° agg, scol.).

— i° Traçons, sous un angle quelconque , les droites indéfinies OA,OB(fig. a5i ). — a° Prenons OA = a,üB = ô, OC = c. Fjg.,5,.

— 3°TraçonsAB. — 4°Menons^ parallèle àAB(n°i54 e/211).

La longueur OX sera la quatrième proportionnelle cherchée.

En effet, ou aura (n° 25g) :

oa:ob::oc:ox, ou a:b;:c: ox;

et par conséquent OX = x.

Scolie 1". — Il y a plusieurs manières de varier cette constructiou. — Par exemple , au lieu de prendre OC = c , on pourrait prendre AC = c ; alors , au lieu de x == OX , on aurait x = BX Etc.

a3o LIV. Il; CHAP. II; § I. —

Scol. x — Le problème precedent est susceptible de nombreuses appli • cations ; nous allons en indiquer quelques unes.

Fig. a5a Application i re. — Mesurer une distance AB ( fig. a5a) dont une extrémité B est inaccessible [On suppose le terrain sensiblement plan.]

Après avoir fisc la direction AB au moyen de jalons (n°a5), on dète sur AB» «lnns le plan du terrain , une perpendiculaire AD (n° 99» ou 139 ,scol. a; ou 190), et sur AD une perpendiculaire DE , toutes deux de longueurs arbitraires; puis on détermine le point Cou BE rencontre AÛ. — Cela fait , 011 pose la proportion

An : ac : : de ; dc (n« a&o, d’où ab *

Ainsi , en mesurant AC, CD, et DE, on aura la valeur de AB parla formule piécédcntc.

JY. B — Il faut, autant que possible, pour atténuer les petites erreur» qui résultent toujours de l'inexactitude des mesures, donner aux droites arbitraires AD, DE, des longueurs telles que les angles aigus de la figure soient à peu près des angles demi-droits.

Au reste, il n’est pas nécessaire que les droites AB et DE soient penpendiculaires à AD : il suffit qu’elles soient parallèles entre clics lyoye a le n° ago, scol. i*r).

Exemple. — H oit AC = ;5fV, CD = a5“, et DE = Vjm\ 3. AC x DE j5xa7iî

On aura AH = — ç-g — 1 — — “1l9-

Applic. a. — Aimer, par un point donné D (fig. a53), une parallèle DE a une droite inaccessible AB.

Pour cela, on recule dans la direction AD, d’une quantité quelconque DC que l’on mesure; puis ou détermine les distances CA, CB, comme on l’a expliqué ci-dessus. — On pose alors la proportion

ca : CB :: CD : CE;

et la distance CE fait connaître , sor la direction CB , le point E de la parallèle cherchée [voyez le n° a5g , récipr.).

Fig. a53. Applic. 3. — Mesurer la distance de deux points inaccessibles , A, B (fig. a5a). — [On est supposé placé en uu point C.]

On détermine d’abord les distances CA et CB comme dans la question principale; puis, par un point quelconque D pris sur la droite CA par exemple , on mène la droite DE parallèle à AB ( applic . a), et terminée en E sur CB; on mesure DE; et comme CD est déjà mesuré, ou pose 1» proportion AB \ CA :: DE CD (n°i6o).

d’où l’on tire

CA x DE