LIV. II ; CHAP. II ; § II

Fig. aSj. Le point C est le point de tangence; et il n’y a plus qu’à faire passer une circonférence par les trois points A , B , G ( voyez les n*’ 102 , 3“ ; et 188). — {Voyez aussi le n° i o3.)

Discussion. — Comme l’arc de cercle décrit du point D comme centre, coupe la droite MN en deux points, C, C, il y a généralement deux solutions.

Mais il peut arriver que AB soit parallèle à MN. — Dans ce cas, la construction doit être modifiée comme il suit :

Fig.i58. ,0 [Comme ci- dessus.] — 20 Par le milieu de AB (fig. 258), faisons passer laperpendiculaireGC (n° 1 01) coupant MN enC. — 3° Menons AC [ou BC]. — 4“ P*1’ le milieu de AC menons la perpendiculaire 10 coupant CG en un point O.

Ce point sera le centre du cercle cberché ( n"’ 88 et 89 ).

H n’y a qu’une solution pour ce cas particulier.

N° 29g. Problème XII.

Trouver une troisième proportionnelle [.r] h deux longueurs données

3e Construction (voyez les deux 1 res au nu 193). — Soit pris PA=r«

Fig. 33g. et PB = b (fig. a3j>). — La question se trouve alors ranicne'c i décrire une circonférence qui , passant par le point A , louche PB en B ( voyez les n^aSSet io3).

Soit C son second point d'intersection avec PA : on anra PC — x.

4* Constr. — 11 Tant distinguer deux cas : a<4, et u>4: [si a était égal i b , on attrait x — n = 6).

Fig. 338. i,r Cas •• n < 6. — i* Prenons BD = « (fig. 338). — 3° Élevons sur BD la perpendiculaire indéfinie DA. — 3° Du point B comme centre , et d’un rayon BA =é , décrivons un petit arc de cercle qui conpe cette perpendiculaire en A. — 4” Élevons sur AB la perpendiculaire AC [comme dans la troisième construction] ; et soit C son point d’intersection avec BD prolongé.

BC sera la longueur cherchée.

En effet, etc.... (n* 374, 3*).

Fig. 33Q. 3* C« »«>*.— »• Sur BC=n(fig. atg) comme diamètre, décrivons

une demi-circonférence (n* 103, !•). — 1“ Du point B comme centre, et d’un rayon BA — b, décrivons un petit arc de cercle qui coupe la demicircouférence en A. — 3° Abaissons du point A sur BC, la perpendiculaire AD (n» 100).

BD sera la longueur cherchée.

En effet , etc. . . . (n* 374 , scol. a , a»\

— PROBL , ; LIGNES PROPORT. ; CERCLE.

ScoUE. — Un moyen analogue k la 3« construction ci-<lrMUi , fournit une 2» construction pour

Trouver une quatrième proportionnelle [x] à trois longueurs données [a, b, c]. — (Voyra le n° agi.)

Pour cela il faut prendre PA = a , PB = A, et PD —e (fig. et a38); Fig. xl? pui* faire paner une circonférence par le» troi» point» A, B, D (voj es le»

(n« ioa,3°;ct 18#) : on aura, comme ci-deuns, PC =x.

N* 5oo. Problème XIII. Fig. a5g , 260, et a6t .

Partager une longueur donnée AB en deux parties dont la Fig. a5g mojrenne proportionnelle soit une longueur donnée AI. — ï6i.

Synthèse. — 1" Construction. — i° Sur AB (fig. a5t)) comme Fig.a5g. diamètre décrivons une demi- circonférence (n“ 102, 1®). — a* Élevons au point A, sur AB, la perpendiculaire AI (n°gg, ou 190, etc.). — 3° Menons par le point I une parallèle à AB (n° i54 ou 21 1); et soit D l’un de ses poiuts d’intersection avec la deinicirconférence. — 4° P0*”1 D abaissons sur AB la per-

pendiculaire DC (n° 100).

AC et CB seront les deux parties cberche'es.

En effet , on a d’abord AC -|- CB = AB ;

et ensuite (n° 2^4» 2, i°). . . AC X CB = Al*.

Discussion. — Il y a généralement deux points d’intersection D, D', entre la droite ID et la demi-circonférence; mais il est facile de voir qu’ils donnent des résultats identiques. —

La droite ID pourrait être tangente à la demi-circonference ; et alors les deux segmens du diamètre étant égaux au rayon, la droite AB devrait être partagée en deux moitiés, lesquelles se trouveraient précisément égales à AI. — Enfin, si la droite ID ne rencontrait pas la demi-circonférence , le problème serait impossible.

Scolie. — La plus grande moyenne proportionnelle que l’on puisse obtenir entre les deux portions d'une longueur donnée , est égale à la moitié de cette longueur ; é

De sorte cjne Je problème serait impossible si Ton donnait...