OA* — (OA* — AI*) = AI

N* 3oi. Problème XIV. Fig. 262 et aG3.

Fig- aCa Trouver deux longueurs qui fassent une différence donnée etaOJ. el dont fa mf)jrcnne proportionnelle soit une longueur

donnée Al.

Fig.uGa. Synthèse. — 1” Construction. — t° Sur AB (fig. 262) comme

diamètre, décrivons une circonférence (n* 102 , i°). — 2° Élevonsau point A , sur AB, l.T perpendiculaire AI (n° igo, etc.). — 38 Menons parle centre O la sécante JCOC' coupant la circonférence en C et en C'.

IC et IC' seront les deux longueurs cherchées.

En effet, on a

IC' — IC= AB, et IC x IC' — AI* (n° 283 , scol. \ , 3‘).

Scolie. — Le problème est toujours possible.

— PROBL. ; Lions PROPORT. ; CERCLE. 23g

a» Cnnstr. — i0 Élevons an point A (Gg. a63! , *ot AB , la pcrpcndicn* Fig. *63lairc AI (n® 99). — a0 Dn point O milieu de AB (no joi , tcol.), comme centre, et du rayon ÜI, décrivons nne demi-circonférence; et soient C, C', les points où elle coupe AB prolonge'.

AC et AC' seront les droites cherchées.

En effet , on a

AC' — AC = AB, et AC x A(/ = AI* (n® î74> '«l-

N° 3oa. Problème XV. Fig. 264.

Partager une longueur donnée AB en moyenne et ex- Fig.aGj. tréme raison (n° 284) [de sorte que, X étant le point de division cherché , l’on ait AB ; AX " AX : BX ].

Construction. — 1® Elevons sur AB (n® 190) une perpendiculaire BB' égale à AB. — 2° Sur B B* comme diamètre décrivons une circonférence (n° 102, i®). — 3° Lions les deux points A et 0 par une droite AO qui coupera la circonférence en C. — 4* Bahattons AC sur AB , par un arc de cercle CX décrit du point A comme centre.

X sera le point cherché.

En effet , etc.. . . (voyez le n® 284).

Scolie 1". — La 'construction que l’on vient d’indiquer peut se simplifier ; car elle se réduit à ce qui suit :

1° Élever sur AB, au point B, la perpendiculaire BO=j AB;

— 2® Mener AO ; — 3“ Rabattre OB sur OA par un arc de cercle BC décrit du point 0 comme centre ; — 4° Rabattre AC sur AB par l’arc de cercle CX décrit du point A comme centre.

Scot. 2. — Le même problème peut s’énoncer ainsi :

Trouver sur une droite donnée AB, un point IL- tel que sa distance à une extrémité A de cette droite, soit moyenne proportionnelle entre sa distance à Vautre extrémité B et la droite entière AB.

Le problème, ainsi énoncé, a pour solution un autre point X' tel que AX' — AC'= AO -f- OC : car de la proportion

ac' : ab :: ab : ac (n® 283)

*4<> UV. Il ; CHAP. Il; $ II.—

Fig.i63. on tire la suivante (voyez la note de la page 221 ) :

ac + ab : ac :: ac : ab, ou BX' : ax' :: ax' : ab.

Scol. 3. — Ed&d, le problème peut encore t’énoncer généralement rom me il toit :

Partager une longueur AB en deux segment additifs ou soustractifs (voyez le n° ago, sent. 3) tels que le carré de l’un d'eux soit équivalent au produit de l’autre segment multiplié par la droite entière.

N° 3o3. Problème XVI. Fig. 265.

Fig. 265. Partager une longueur donnée AB en deux parties telles, que le carré de l’une soit au produit de l’autre partie par la droite entière, dans un rapport donné [m ; n].

Ststhksk Construction. — 1° Prenons, snr le prolongement de AB,

011e distance BC telle que l'on ait BC J AB ni \ n (n° agi). — a° Snr AC comme diamètre décrirons une demi-cirronférence (u° roa , i°). — 3° Élevons l’ordonnée BD (n» 99). — 4“ Snr BC comme diamètre décrivons une circonférence. — 5° Par le centre O de cette dernière et par le point D, menons la sécante DXOY, coupant la circonférence en X et en Y.

La distance DX est la première partie de la droite AB : celle dont le carré, etc ; [AB — DX est la seconde].

En effet, on a, d’après la construction précédente,

d’abord BD* =AB x BC fno a;4, scol. a, i«),

et ensuite BD* e= DX x DY = DX(BC-è- DX) (u° a83); d’où l’on lire AB X BC = DX (BC -1- DX),

et par conséquent DX* =(AB — DX) BC.

Maintenant, puisque l’on a BC ; AB m ; n, d’où (AB- DX) BC; (AB — DX) AB “m : n,

il en résulte DX* ; (AB — DX) AB :: m ; n ;

ce qui fait voir qne DX remplit les conditions demandées.

Scoi.tr l»r. — Comme DX est moyeu proportionnel entre (AB— DX) et BC, la même construction sert à résoudre le problème suivant :

Partager une droite AB en deux parties telles que l’une , DX , soit moyenne proportionnelle entre l’autre partie et une seconde droite donnée BC.

Scol. 2. — Dans le cas particulier de m = n, on a aussi AB=BC=BD;

et l’on retombe snr le problème précédent (n° Son).

— PROWL. ; LIGNES PROPORT; CERCLE.

N" 5o4» Problème XVII. Fig. 141.

Par l’extrémité A d’un segment de droite AB qui ne peut Fig. 141, être prolongé , élever une perpendiculaire.

Synthèse. — 3e Construction (voyez les deux 1"* aux n°* 12g, scol. 2; et igo). — i° Du point A comme centre, et d’un rayon AB = 3, décrivons un arc de cercle qui coupe AB en B.

— 20 Du même point A comme centre, et d’un rayon AC=4> décrivons un autre arc de cercle. — 3° Du point B comme centre, et d’un rayon BC = 5, décrivons un troisième arc de cercle qui coupe le précédent en C.

AC est la perpendiculaire cherchée.

En effet, le triangle ABC est rectangle en A puisque l’on a 3’ -f- 4* = 5* (voyez le n° 298).

N® 3o5. Problème XVIII.

Deux contes se coupent dans un cercle ; les segmens de l’une valent respectivement i3" et ü5" $ les deux segmens de Vautre sont entre eux dans le rapport de Q h 7 : on demande la valeur de cette dernière. En nommant x ce y Jes deux segmens de la cordc cherchée, on a

et (n° a83) xy=t 5x i3 = 3a5;

d’où l'on tire , en éliminant x.

La corde cherchée vaut donc, h un centimètre près ,

N. B. — Voyez dans la Note A , la construction et V usage des échelles , ainsi que la description du compas de proportion et celle du compas de réduction.

ifo ii*- chap. ii ; $1 m. —

§ ni. — Problèmes sur les Figures Semblables. N° 3o6. Problème XIX. Fig. 210.

F'g- aïo. Construire un triangle semblable à un triangle donné ABC ,

sur une droite A'Ii' donnée comme homologue d’un côté déterminé AB.

Analyse. — Le triangle cherché A'B'C' devant être semblable au triangle ABC , on aura ( n“* a5a et 361 )

ab : AB' :: a'c : A'C' :: BC : B'C\ et A = A' I B = B' I C = C'.

Ainsi , l’on peut facilement déterminer les trois côtés et les trois angles du triangle A'B'C'. — De là résultent plusieurs moyens de résoudre la question.

1" Construction. — Employez les trois côtés avec la construction du numéro i83.

a* Constr. — Employez le côté A'B’, un second côté, et l’angle compris, comme dans le numéro 184.

3e Constr. — Faites aux points A' et B', des angles respectivement égaux à A et B , comme dans le numéro 1 85.

Scolie i*r. — Quant à la construction du numéro 186, il vaut mieux l’éviter parce qu’elle pourrait induire en erreur.

Scol. a. — On a vu dans le numéro 260 , qu’une parallèle menée à l’un des côtés d’un triangle , déterminait un autre triangle semblable au premier ; delà résulte encore un moyen qu’on peut employer dans beaucoup de circonstances.

Scol. 3. — La construction d’un triangle semblable à un autre , est susceptible de nombreuses applications y [nous en avons déjà donné des exemples dans le numéro 290 ].

N° 307. Problème XX. Fig. 266.

Fig. 366. Inscrire a un cercle, un triangle ABC semblable h un tiiangle donné.

— PROBt. ; FIGURES SEMBLABLES.

SrnTaè.ï. — Construction. -."Menons une droite MN tangente h la Fie *C6 circonférence (n* io5), en nn point quelconque A. — a» Tiron. I • g' ,06' A, deux corde. AB, AC, faisant avec AM et AN le. angles MAb'naC (n. respectivement égaux h deux angle, du triangle donné -3® nona BC. 1 1C"

Le triangle ABC «ati.fera aux condition, de la question

En effet , ACB= MAB, ABC = NAC (n» ,5.); et quant à l’angle A il est nécessairement égal an troisième angle, A, du triangle donné (n" ,63)’

Problème XXI,

Fig. 267.

dfnnTnSCrire “ Un eerCU ’ Un ,ria"gU ABG lembuble a «* triangle Fig.a67.

AXrk*tr,?nttrUCtTrl° In,criïon* 4 la conférence, un triangle ABC semblable au triangle donné (no 3o7). 3o Du centre, O, menons

•le. rayon. , Oa, 04, Oc, respectivement perpendiculaires aux côtes du triangle A'B'C' (no ,00). — 3» Par les extrémités, a, b, e, de ces rayon, menons des tangentes (no io5). 3 ’

Ce. tangente, formeront un triangle ABC qui satisfera aux condition, de la question.

En effet, le triangle ABC sera semblable au triangle A'B'C' (n. a65) et par conséquent au triangle donné (no a5C).

Problème XXII.

Construire un poly gone semblable à un polygone donné, sur une droite donnée comme homologue d'un côté déterminé.

On ramène la résolution de ce problème;! celle du numéro3o6

en employant, pour la détermination du polygone cherché’

l’une des méthodes indiquées aux numéros 217 ou 223’

ou même encore les propriété, de. centres de similitude interne, ou externes (n® ayo).

Scolie.- On peut, par le même moyen, construire approximativement une courbe semblable k une courbe donnée quelconque. — Pour cela on commence par imcrirei cette dernière, un polygone don, le. côté, soient suffisamment petit. : [plu. le. sommet, consécutif, sont voisin, le. on. de. autre, , plu. la solution approche d’une exactitude rigoureu,c].-On construit eusurte un second polygone semblable au premier, et tel que le. côté, homologue, de. deux polygone, aient le même rapport donné que le. dimens.on. homologue, des deux courbes. Enfin , on fait passer une courbe continue (n® a5o) pat lc, sommet, consécutif, du nouveau polygone.

*44 LIV. 11 ; cn»p. Il; § II. —

N° 5 io. Phobleme XX1IJ.

Inscrire approximativement h un cercle , un polygone régulier d'une espèce donnée.

Fig. a68. Supposons qu’il s'agisse, par exemple, d’inscrire à un cercle OP (fig. 268), un heptagone régulier.

Pour cela : — 1® Essayons deux longueurs qui ne diffèrent pas beaucoup de la longueur présumée du côte cherche , l’une AB un peu trop grande, l’antre ai un peu trop petite : [c’est-à-dire telles que, chacune d’elles étant portée sept fois de suite comme corde , à partir du point P, sur la circonférence OP , et dans le sens PC, l’opération se termine, pour la première, en un point C situe au-delà de P, et pour la seconde, en un point c situé en-dech de P]. — 20 Traçons une droite DE égale à AB; et prenons, h partir du point D, une portion De de cette droite, égale h ab. — 3o Elevons au point E, sur DE, une perpendiculaire EF (n° 190) égale à la corde PC de l’arc excédantt et an point e, sur la même droite DE, et dans le sens inverse dn précédent, une perpendiculaire ef égale h la corde Pc de l’arc déficient.— 4° Menons Fy*coupant DE au point G.

La distance DG ne pourra différer que fort peu du côté cherché.

Si l’on trouve que l’erreur est encore trop considérable, et qne le résultat obtenu , donne , par exemple, un rAté trop petit, on recommencera l’opération en substituant ce nouveau cAté approché, an cAtéoA; et, cette fois , l'erreur sera beaucoup moindre.

On pourra, du reste, continuer crtlc série d’approximations jusqu’à ce que deux résultats consécutifs ne diffèrent plus d’une quantité appréciable : dès qu’on est parvenu h ce point, nnc construction rigoureuse n’aurait plus aucun avantage réel sur la solution ainsi obtenue.

Alors, en traçant dans la circonférence , amant de cordes consécutives égales à la longueur obtenue , qne le polygone doit avoir de cAtés , on obtiendra le polygone cherché (n° 23t).

Scnlie Ier. — La méthode précédente est très digne de remarque, en cc qu’elle peut être employée dans toutes les circonstances où l’on cherche une ligne dont la longueur doit satisfaite à une condition donnée, et où en même temps on ne peut trouver exactement cette valeur par quelque moyen simple et commode. On s’en sert , en particulier, pour partager en un certain nombre donné de parties égales, non - seulement des circonférences entières, comme on vienCdc le soir, mais des arcs quelconques, 00 même des distance rectilignes (t»oyer le n® 62, scol. 2).

Scoi. 2. — La droite Ee , différence des valeurs supposées du cAté inconnu , se trouvant, par la solation approximative que l’on vient de donner, partagée proportionnellement aux erreurs respectives qui résultent des deux hypothèses (voyez le n° 2»)o), il s’ensuit que la construction précédente n’est*, en quelque sorte, que la traduction géométrique de la méthode

PROBL. ; FIGURES SEMBLABLES. %Q5

connue en Arithmétique sou* le nom de règle de fausse position double , laquelle consiste, comme l'indique son litre, îi supposer deux valeur* successives au nombre inconnu , pois à regarder Ici accroissemens des erreurs qui résultent de ces suppositions , comme proportionnels aux accroissemens des valeurs supposées.

Scol. 3. — Il existe certaines classes de polygones dont on peut construire rigoureusement le côté lorsque le rayon en est donné : ooos les indiquerons dans le chapitre suivant (n°* 3 1 4 et suit'.) ; mais le nombre de ces polygones étant fort restreint (voyez plus loin, n° 3jï), il est très utile de connaître la méthode précédente.

Scol. 4> — Enfin, l’on peut encore employer, pour l’inscription des polygones réguliers, la Table des cordes , que nous avons placée à la (in de l’ouvrage. — Par exemple, le nombre 6840, valeur delà corde de 4o° dans un cercle dont le rayon est représenté par 10000, est en même temps, poor hi même hypothèse, la valeur du côté de Vennéagone régulier inscrit. — De même, le nombre 8679, corde de 5i°ïW on de 36o« * 7, est le côté de Y heptagone , etc. — (y oyez encore le n* 3xa.)

N° 3n. Problème XXIV. . ! .

Circonscrire à un cercle , un polygone régulier d'une espèce donnée.

On commence par inscrire un polygone de la même espèce (no 3io)i et Ton trouve, par le numéro x35, le polygone circonscrit semblable.

N* 3ia. Problème XXV. ,ü. !..

Construire, sur un côté donné, un polygone régulier it une espèce déterminée.

11 faut , pour résoudre ce problème , construire uu polygone de l’espèce désignée , en prenant pour rayon une droite arbitraire (n® 3to) ; puis construire, sur le côté donné, un polygone semblable au premier (n® Sog) Ce

sera le polygone cherché.

Scolie. — On peut auasi quelquefois résoudre la question en traçant deux côtés consécutifs qui comprennent entre eux l’angle du polygone , mais il faut encore pour cela, que l’on sache construire cet angle directement, question qui , au fond , rcDtrc dans la précédente.

• N. B. — Voyez à la lin du volume, iVofe À , les-articles du pantographe , du lever des plans , et de la planchette .

UT. Il ; CHAT. III.