AC» 4- OB* = AB (AK 4- KB

ou AC» 4-OA* =AB*; C Q.F.D.

Scolie. — Par suite des deux théorèmes qui précèdent , la valeur numérique dn côté du pentagone régulier est égale 4 la valeur dn rayon multipliée

Par “ to — a \/5 ; et son apothème, 4 ce même rayon multiplié par

UV. IL; CHAP. Ul ; $ I. —

N° 319. Théorème VI. Fig. 375.

Fig. *73. L'arc sous-tendu par le côté BC du pentédécagone rigulier

inscrit est la différence des arcs sous-tendus respectivement par les côtés, AB et AC , de l'hexagone et du décagone.

En effet : l’arc AB vaut £ de la circonfe'rence , et l’arc AC vaut -£j.

Or g — tV==t5» donc l’arc BC est de la circonférence. Donc, etc.

Scolie. — Si l’on prolonge le rayon OA jusqu’il la rencontre de la circonférence , en D , et que l’on mène BD, CD, on formera un quadrilatère Inscrit ACBD, dont les diagonales seront AB , CD. Cela pose', en appliquant II ce quadrilatérale théorème démontré au’n uméro a86, et observant que

l’on a AB =s t , AD s a, AC * -( \/5 — i) (n° 317* seul. ), et enfin qne

les triangles ABD, ACD, sont rectangles en B et en C, on obtient

BC =’(V io + n \/l -4-1/3- l/Tü).

N” 320. Problème I. Fig. 374*

Fig. 574. Étant donné le cité AB = c d'un polygone régulier inscrit , et le rayon OA — r du cercle , trouver le côté AC = C d'un polygone régulier inscrit d’un nombre sous-double de cités.

Si l’on achève le quadrilatère inscrit ABCD ayant pour diagonale le diamètre BOD perpendiculaire à AC , et qne l’on applique A ce quadrilatère la proposition démontrée an numéro 086 [ou au triangle ABD celle du numéro 074 (4°)], en faisant BD = or, BC = AB = c, et enfin

AD = CD= l/47*3irr*,

on obtient Cr — cÿ ,\r* — c* :

d’où C— iVV1 — c*.

Par exemple — En faisant c = r = i (n°» 3i5 et 3i3), on a, pour le côlë du triangle équilatéral,

comme on l’a trouvé au numéro 3 16.

— On obtiendrait de méuic le cAtédtt pentagone régalicr inscrit (nos Sl-

et 3l8j.

— POLÏGOJCES RÉGULIERS. 25 1

— Si l’on fait r= i, et c-=\/i (n« 3i3), on trouve Fig.aj^'

ce qui doit être, d’après une remarque faite an numéro a33, puisque le diamètre du cercle peut être considéré comme on polygone inacrit de deux côtés.

N° 3a i. Problème II. Fig. 274.

Keciproqcemeht : — Étant donné le côté AC =C d'un polygone inscrit , et le rayon OA =r du cercle , trouver le côté AB = c d’un po* lygone régulier inscrit d’un nombre double de côtés .

Pour cela, *oit achevé' le quadrilatère ABCD, comme daoa le numéro precedent. Alors, il suffit d’ohscrvcr que dans le triangle rectangle BAD, AB est moyen proportionnel entre Thypotcnusc BD et le segment BI. Car, en faisant BD = or, et

on obtient

BI=.BO — OI =BO — VOA— -Al» —r -\f r>—~C‘,

lient e‘=orÇr— y/r.

n c* =s r (ar — \/ 4 r* — C*).

ou bien c* = r (ar — \/4 r' — C*).

— Par exemple — Si l’on veut trouver le côté de l’octogone régulier inscrit, il faudra faire (n*‘ 3t3 et 3i4)

r= t et C=\/Z,: d'où «■ = a — V^a.

— Ponr trouver le côté du dodécagone, il faudrait faire

C= t (n°3i5): d’où e» = a — \/3.

N° 3'Ji. Remarque. — Le» deux problème» (n°*3aoet 3ai)etle» divers théorème» qui précèdent , ainsi qu'un autre problème dont nous avons cru devoir placer la résolution un peu plus loiu (n°33t), fournissent les moyens de déterminer géométriquement les dimensions relatives des polygones réguliers compris dans le» catégories suivantes :

l* les polygones de. . 4> 8, 16, 3a. ... côtés (n° 3 1 4) i

a9 3, 6, ta, a4 (n“* 3 1 5, 3t6);

3° 5,to,ao, 4° (n0»3t7, 3t8;;

4* i5,3n,Co,tao (n° 3tg).

On peut y parvenir encore pour les polygones réguliers dans lesquels le nombre des côtés est représenté par la formule a* ■+■ i, n étant un nombre entier, et a* -f- t un nombre premier; mais la question , relativement h ce» sortes de polygones, sort toul-è-fait de» élément .—(P’oyei les Recherches Arithmétiques de M. Gauss , traduction de M. Poullït- Delisle.)