DU PLAN

De la Surface Plane. — Division générale de la Géométrie.

N° 9. La plus simple de toutes les surfaces est la surjace plane , ou simplement, le Plan. — Ou nomme ainsi une surface indéfinie sur laquelle on conçoit que, par chacun de ses points, une ligne droite peut être appliquée exactement suivant toute son étendue indéfinie , et dans une infinité de positions différentes. — (*)

* 11 résulté de cette définition , que

Dans un plan , par chacun de ses points , on peut mener une infinité de droites.

Il suit encore de là et de la nature de la ligne droite , que

Toute droite qui a deux de ses points dans un plan , y est contenue tout entière :

Car ces deux points déterminent une des directions (n° 8) suivant lesquelles la droite peut être placée sur la surface.

Par conséquent : — Une droite ne saurait être en partie sur un plan et en partie au dehors de ce plan.

Les surfaces planes , ainsi que les lignes droites (n° 5) , sont toujours supposées complètement indéfinies , à tnoius que des conditions particulières 11’en restreignent l’étendue naturellement illimitée.

N° io. On nomme Surface Polyédrale, ou surface brisée, [par analogie avec les expressions de ligne polygonale et de ligne brisée (n° 6)] , toute surface composée de portions de plans consécutifs qui se rencontrent ou se coupent deux à deux.

Ou appelle Surface Courbe , toute surface dont aucune portion appréciable n’est rigoureusement plane.

(*) Telle est ta forme qu’affecte sensiblement la surface d’un liquide un repos, considérée dans une petite étendue. — Une glace bien polie, une feuille de papier bien tendue, nous offrent encore l'idée de surfaces planes, puisqu’une droite matérielle [comme le liord d’une règle bien dressée ] peut toujours s'appliquer snr ces surfaces en passant par lieux {quelconques de leurs points.

« o iWTRODECTiorr ; —

Enfla, nous nommerons surface mixte , toute surface qui est en partie plane et en partie courbe.

N0 u. De même qu’une droite est déterminée déposition (n° 8) par deux points, de même

La position d’un plan se trouve complètement déterminée par trois points.

Pourvu toutefois que ces trois points ne soient pas situés sur une même ligne droite ;

C’est-à-dire — i° qu’Orc peut toujours faire passer un plan par trois points non situés en ligne droite ;

Et — 2° que Deux plans qui ont trois points communs non situés en ligne droite , coïncident dans toute leur étendue.

Cette prôpriété du plan joue par rapport à la surface plane, le même rôle que la proprie'té du numéro 8 par rapport à la ligne droite; on doit, par conséquent , l’admettre également comme évidente.

Au reste, elle peut être mise hors de doute par le raisonnement suivant.

l ig. 5, Considérons d’abord trois points , A , B , C (fig 5) , situés arbitrairement dans l’espace ; et concevons qu’un plan quelconque [matérialisé par la pensée] soit disposé de manière à passer par les deux points A , B : la droite AB y sera contenue tout entière (n° 9). Cela posé, faisons tourner ce plan autour de AB comme autour d’une charnière, jusqu’à ce qu’il vienne passer par le troisième point C. Il est clair que le plan est alors fixé de position dans l’espace, en ce sens qu’il ne peut plus continuer sa révolution autour de AB sans que le point C cesse de s’y trouver compris. Le plan que l’on considère est ainsi assujetti à passer par les trois points A , B , C.

Je dis de plus que tout autre plan passant par les trois mêmes points , sc confond nécessairement avec le premier dans tonte son étendue indéfinie.

En effet, les points A , B, C, appartenant tous trois anx deux plans, il •''ensuit d’abord ( n° 9) que les droites de jonction , AB , AC, BC , de ces points pris deux & deux, sc trouvent à la fois contenues tout entières dans chacnn des deux plans.

Soit maintenant un quatrième point quelconque K, pris sur l'un desdeux