DU PLAN» II

pl«D* partout où l'on Tondra [pourvu toutefois iju’il n'appartienne pas aux Fig. 5. droites de jonction]. Il est impossible que le point K ne sc trouve pas en meme temps sur l’an treplan: car on peut évidemment toujours, par ce poinl[ct même d’nnc infinité de manières différentes] , mener dans le premier plan une droite MN qni coupe deux des trois droites de jonction respectivement en M , N.

Les deux points M, N, appartenant ainsi au second plan, la droite MIS y est contenue tout entière; donc le point K est sur le second plan : c'est-à-dire que tout point pris sur le premier plan est aussi sur le second.

Donc enfin , les deux surfaces coïncident entièrement.

Il résulte de là , que l’on peut désigner un plan par trois de ses points , A , B , C , non situés en ligue droite. Cependant il suffit quelquefois d’en considérer deux , ou même un seul.

N° 12. Deux droites, AB, CD (ûg. 6), qui se rencontrent , Fig. 6. en un point O , déterminent également un plan:

Car si l’on fait passer un plan par leur point commun 0 et par deux autres points quelconques, A, C, pris respectivement sur chacune d’elles , ce plan contiendra les deux droites (n° g); et de plus, il sera le seul dans ce cas (n“ 1 1) : on le nomme , pour cette raison , le plan des deux droites.

Tl est bon de remarquer d’ailleurs que dans la supposition précédente, les deux droites se coupent, se traversent , ou se croisent à leur point de rencontre , et qu’elles partagent ainsi l’étendue de leur plan en quatre portions indéfinies, AOC ,

COB , BOD , DOA , que l’on nomme des angles.

La figure 7 représente un angle isolé AOB [ou plutôt le Fig. 7. commencement de cet angle] ; — le point 0 se nomme le sommet; et l’on appelle côtés de l’angle les segmens indéfinis de droite, OA, OB, entre lesquels il est compris.

N° i3. De ce qui précède il résulte encore , que

Toutes les surfaces planes , considérées dans leur étendue indéfinie (n°g), sont égales entre elles (n° 3).

De plus, non-seulement deux plans distincts sont superposables, comme on vient de le voir; mais on peut encore faire coïncider les deux faces d' un plan , le dessus avec le dessous.

En effet, toute droite AB ( fig. 8) tracée dans ce plan , le Fig. 8. partagera en deux portions telles que, si l’on fait tourner

8- cette surface autour de la droite comme autour d’un essieu , les points de chacune des deux portions [ soit pour exemple le point M] viendront tous en même temps occuper des lieux [le lieu N par exemple] appartenant à la position primitive de l’autre portion.

D’où l’on déduit les conséquences suivantes :

i° Toute surface plane partage l espace indéfini (n° i) en deux moitiés superposables — [dont, pour les distinguer, nous nommerons chacune une région de l’espace'] ;

Et de meme : — 2° Une droite quelconque partage tout plan qui la contient en deux moitiés superjtosables — [que nous nommerons régions du plan, et] que l’on peut faire co'incider, soit en faisant tourner le plan autour de la droite comme autour d’une charnière, soit en pliant le plan suivant la droite.

N° i4- Enfin , on peut conclure de ce qui a été dit au numéro 1 1 , que

Par deux points donnés, ou Par une droite donnée, on peut imaginer une infinité de plans :

Car un plan passant par une droite donnée peut prendre autour de cette droite une infinité de positions différentes.

Au contraire, si l’on prend quatre points au hasard dans l’espace, le plan déterminé par trois d’eutre eux ne passera pas ordinairement par le quatrième ; et de 1A il résulte qu’en général , une figure n’a pas tous ses points situés dans un même plan.

Cela posé, on donne le nom de figure plane à une figure dont tous les points sont dans un même plan.

Une ligne droite est donc essentiellement plane.

Toute ligne brisée qui n’est pas plane est dite une ligne gauche.

Toute ligne conrbe qni n’est pas plane est dite une courbe à double courbure : — [cette dénomination est tirée de ce qu’une ligne en général , étant le lieu de l’intersection de deux surfaces (n° l), ne peut avoir tous ses points situés dans un même plan, que dans certains cas particuliers, hors icaqueli la ligne participe de ce qu’on appelle la courbure de chacune des deux surfaces (u« io).]