OA

Si l'on prend pour unité d'angle , l’angle correspondant à l'arc qui , rectifié , est cquiualent au rayon, l'angle au centre a pour mesure La rapport de l’arc au ray‘on.

Scolie. — Les arcs et les rayons étant des quantités d’espèces differentes, on pent les rapporter respectivement h telles unités que i’oti veut : ces nnités sont tout-h-f.iit inde'pen tantes l’une de l’autre. — Oïdinair* ment , on prend pour unité d'arc (n° ua) [dans chaque cercle donné], le quart de la circonférence; mais quelquefois aussi on rapporte l'arc cl le rayon a la même unité linéaire; et alors , l’unité des arcs, supposée rectifiée, n’est autre chose qoe l’unité linéaire rectiligne.

§ III. — Détermination du Rapport numérique de la Circonférence au Diamètre.

N°33o. Ce qui précèdo (n°* 3 1 3 et suiv.) fournit divers moyens d’obtenir le rapport de la circonférence au diamètre.

Ainsi, par exemple, le théorème 1 (n® 3 1 4) donnant la valeur du côté du carré inscrit à un cercle dont le rayon est l 'unité [et l’on pourrait tout aussi bien prendre l’hexagone (n" 3i6), le décagone (n*3i7), ou même le pentédécagone (n° 319)] , il s’ensuit que si l’on multiplie par 4 la valeur du côté de ce carré, on aura son périmètre. Supposons ensuite que l’on ait déterminé , par le problème 11 (n0 3ai ) , le côté

DÉTERMI*. DE X. 2.5g

de l’octogone inscrit au même cercle : on aura le périmètre de cet octogone en multipliant son côté par 8; et l’on obtiendrait de la même manière les périmètres des polygones de i6, de 3?. , de 64 ... . côtés , inscrits au même cercle.

Maintenant, le problème in (110 3?.3) , appliqué successivement aux divers polygones dont nous venons de parler, donnerait les côtés, et par suite les périmètres des polygones circonscrits de même espèce que chacun d’eux.

Or, il résulte du théorème démontré au numéro 2^5 , ou plus simplement, dn lemme établi au numéro 80 , que dans la série des opérations que l’on vient d’indiquer, les périmètres des polygones inscrits vont sans cesse en augmentant, tandis qu’au contraire les périmètres des polygones circonscrits vont sans cesse en diminuant. Et comme ils ont pour limite commune (n° 24°) circonférence, qui se trouve de plus eu plus resserrée entre eux , il est clair que l’on peut pousser les calculs assez loin pour que le périmètre de l’un des polygones inscrits et celui du polygone circonscrit correspondant, ne diffèrent plus dans tel ordre que l’on voudra d’unités fractionnaires décimales. Les deux périmètres ainsi obtenus pouvant alors être considérés comme identiques, il est permis de prendre leur valeur commune pour celle de la circonférence même : la moitié de cette valeur est le rapport cherché. — ( T’oyez la Géométrie de M. Lacroix. )

Au lieu de chercher la valeur approchée d’une circonférence dont le rayon est déterminé d’avance [ comme nous venons d’en indiquer le moyen], on peut au contraire chercher la valeur du rayon , pour une circonférence de longueur déterminée. Cette méthode nous paraissant préférable par la simplicité des calculs, qui n’exigent, comme on va le voir, que la détermination de moyennes alternativement par différence et par quotient , nous l’exposerons avec quelques détails; et pour cela , nous ayons à résoudre d’abord le problème indiqué ci-dessus (n° 322).