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Problème V. Fig. 280 -

.280. Étant donnés, le rayon 0\— R, et l' apothème OP = r, d’un polygone régulier ayant AB pour côté, trouver le rayon R' et l' apothème r d'un polygone régulier isopérimètre (n° 240) et d’un nombre double de côtés.

Soit AOB l’angle au centre du polygone proposé. — L’angle au centre du nouveau polygone devant être moitié de l’angle au centre du polygone donné , si l’on prend , sur le prolongement de OP, une longueur OC égale à OA, et que l’on mène les droites AC et BC, l’angle ACB sera l’angle du polygone cherché. De même , le côté de celui - ci devant être moitié du côté du premier polygone, si l’on mène OA' perpendiculaire à AC, et A'P'B' parallèle à AB, A'B' sera le côté demandé (n“ 164 et 260). Alors, CA' [=CB'] sera le rayon , et CP' l’apothème , de ce même polygone.

Il ne s’agit plus que de déterminer CA' = R' et CP' = r . Pour cela on a d’abord :

CP' = i CP,(n° 268), = i (CO ■+■ OP) = ~ (OA 4- OP) ; ou bien r = ’ ( R -f- r).

Secondement, dans le triangle rectangle CA'O, on a

CA'* = CO X CP', ou R’ = |/ R r'; et comme r est déjà déterminé, le problème est résolu.

N° 332. Remarqües. — Dans le nouveau polygone , le rayon est moindre que dans le premier ; c’est le contraire pour les apothèmes : il est facile, en effet, de reconnaître sur les formules précédentes , que l’on a

r' > r et R' < R.

Ainsi, la différence entre le rayon et l’apothème est moindre pour le nouveau polygone, que pour le premier. Si l’on fait subir à ce nouveau polygone , la même transformation qu'au premier, la différence entre le rayon et l’apothème sera

DÉTERMINATION DE sr. 26 I

encore moindre. Et, en continuant ainsi à faire subir la même transformation aiix polygones successivement obtenus, on pourra, en poussant le calcul suffisamment loin, parvenir à un polygone, toujours du même périmètre constaut, et dont le rayon différera de l’apothème, d’une quantité moindre que toute grandeur donnée.

En effet, en représentant par R, r, et c, le rayon, l’apothème , et le côté de l’un des polygones successifs , on a

fl*

(n° 275, coroll.).

Il en résulte (voyez la note de la page 218) :

d’où, en représentant par t1 l’apothème du polygone d’un nombre de côtés double de celui que l’on considère ,

4(fl + rj“8?

Or, c peut devenir plus petit que toute quantité donnée , pourvu que l’on multiplie suffisamment le nombre des côtés du polygone ; et d’ailleurs / va continuellement en augmentant : donc , etc.

Maintenant, il est visible que , par la suite des transformations, le périmètre du polygone tend continuellement à prendre la figure de la circonférence isopérimètre, circonférence dont le rayon est intermédiaire entre les rayons et les apothèmes des polygones successifs. Or, par hypothèse, l’opération a été poussée assez loin pour que la différence du dernier rayon au dernier apothème fût moindre que toute grandeur donnée , et pût être négligée. Donc le rayon de la circonférence limite, qui est compris entre ce rayon et cet apothème, se trouvera déterminé à tel degré d’approximation que l’on voudra; et comme on connaît aussi la circonférence, équivalente au périmètre constant des polygones successifs, il sera facile d’avoir le rapport de l’un à l’autre.

a6a ut. ii ; chàp. ni ; Ç ni. —

M° 333. Passons actuellement h l'application numérique du procédé qui vient d’être indiqué. Ayant la faculté d’employer un quelconque des polygones réguliers dont il a été traité ci-dessus au premier paragraphe, nous prendrons de préférence le carré. Alors, en représentant son côté par l , son périmètre, ainsi que celui de tous les polygones successifs, y compris la circonférence limite, vaudra 4- Le nombre irrationnel j 2. sera son rayon, et la fraction |, son apothème.

Observons de plus , que ces nombres • et j \/ o. , qui représentent respectivement l’apothème et le rayon du carré , peuvent être considérés, le premier comme moyen par différence entre o et i, et le second comme moyen par quotient entre i et j j ce qui revient d’aillcurt À prendre pour premier polygone, erlui de j côtes (n° 333), dan» lequel l'apothème serait o, le rayon I, et le périmètre 4-

— De là résulte ce

Théorème remarquable :

Une suite de nombres dont les deux premiers sont o et i, et dont les attires sont alternativement, à partir du troisième inclusivement, moyens par différence et moyens par quotient entre les deux qui les précèdent immédiatement, converge sans cesse vers la valeur du rayon d’une circonférence égale à 4-

On pent figurer ce the’nrèmc géométriquement par la constrnction sui- Fig.sül. vante : — Soit AÜO' (fig. 381) nn triangle isocèle, rectangle en O; et soit A' le milieu de O' A. — Pu) longeons OO' d’nne quantité O'O' égale !i O' A'; menons A'U"; et soit A“ le milieu de celte droite, — Prolongeons OO'O" d’nne

quantité O'O* égale h O" A", etc : les droites 00', O'O", 0"0*. . .

diminueront sans cesse en convergeant vers le rayon d’nne circonférence égale à 41 OA. — De pins , si Pon projette (n<* 83, scol.) les droites 0'A',0'A". . . , snr la droite OO'O'O*. . . , on anra une antre série de droites qui augmenteront sans cesse en convergeant aussi vers la même limite.

En effet , si l’on rapproche cette construction de celle qui a etc donnée ponr la résolution tin problème v (n° 33 ■ ), il sera facile de reconnaître qnc OA étant la moitié du côté du carré inserft, — 1” les droites O'O', O'O*, 0*0" . . . . sont respectivement les moitiés des rayons dn carré, de l’octogone isopétimèlre, du polygone de 16 côtés. . — et ao que les projections,

— VALEUR DE x.

sur OO'O'O*. . . , des droite* O' A', O" A", O* A”. . . «ont respectivement Fig.a8l. le* moitié* de* apothème* de* mêmes polygone*.— Or, il résulte évidemment de lè , qnc toutes ce* droites tendent ver* la moitié de la valeur du rayon d’nne circonférence égale il 8. OA, on ver* celle du rayon d'une circonférence égale 5 4-OA.

N° 334. Voici maintenant le tableau du calcul numérique, dans lequel r et R, r et R', r" et R",. . . .* représentent respectivement les apothèmes et les rayons des polygones de 2, de 4, de 8.... côtés, calculés jusqu’à la septième décimale.

Nombre îles côtes.

APOTHÈME.