RATON

r1 = o,5oooooo

rIM = 0,6284174

rvl = 0,6364919

rT,,,= 0,6366117

Ainsi, une circonférenceégaleà4apourrayon 0,6366196..., ou pour diamètre 1,2732392....; d’où il résulte que le rapport de la circonférence au diamètre [rapport que nous avons représenté par x (n° 327, coroll.)'} , vaut

4ooooooo

264 uv. 11 ; chai», ui ; 5 ni. —

N° 335. Les calculs précédons sont susceptibles de plusieurs simplification*-.

D'abord , on sait que dans l'extraction de la racine carrée, lorsqu'on ai calculé pins delà moitié des chiffres décimaux, les autres s'obtiennent par la division (voyez V Arithmétique).

Secondement , on voit qu'à partir du polygone de 5i3 côtés, les valeurs de l'apothème et du rayon se confondent dans plus de la moitié de leurs chiffres décimaux; d'où il résulte que depuis ce point, on peut prendre des moyens par différence au lieu de moyens par quotient (voyez V Algèbre).

Troisièmement enfin, dans une série dont chaque terme est la demi-somme des deux qui le précèdent immédiatement , les termes convergent sans cesse vers une limite qui a pour valeur, le premier terme, augmenté ou diminué [suivant que le second est plus grand ou plus petit que le premier] des deux tiers de la différence des deux premiers termes.

Pour démontrer cette dernière proposition, soit a et artd les deux premiers nombres de la série ; les autres pourront s'écrire ainsi :

a ~ 3^ " etc-’

or, tons ces nombres ont évidemment pour limite, a — dj d'où il résulte

que le dernier rayon a pour valeur

ot6366357 — ofooooifio = 016366197.

Il y an rai t encore h faire, sur le calcul précédent, plusieurs autres observations de détail. Ainsi , nous n'avons présenté le tableau que des 7 premières décimales des rayons et des apothèmes; mais il est facile de concevoir qoe ces 7 premières décimales ne sauraient être exactes partout , si les opérations qui y conduisent, particulièrement dans le commencement du calcul, n’étaient poussées beaucoup plus loin.

[ Eoyez lez Elément de Géométrie de Schwab, ainsi que les Annales de Mathématiques , tome ti , pages 193*01 suiv., et tome xtii 3pagc 148. — E" oyez aussi , à la fin de l’ Arithmétique de M. Bourdon , 13e édition , une Note sur les calculs approximatifs. ]

N® 336. La valeur que nous venons d’obtenir pour le nombre ir, convertie en fraction continue ( voyez Y Arithmétique) , donne pour premières réduites les 4 suivantes :

i ’ 7 ’ io6 ’ 1 13’

— RECTIFIC. DES ARCS.

Le premier rapport f est très peu approché [à j seulement, de sa véritable valeur], et n’est presque jamais employé. — Le second, ^ , qui porte le nom d ’ Archimède , est assez usité; il est exact à moins d’un ou deux millièmes près. — Le troisième f§| porte le nom de Rivard ; on ne l’emploie jamais, parce que le suivant, avec le même nombre de chiffres, donne une valeur beaucoup plus approchée. — Enfin, le dernieriff» qu> porte le nom de Mt'lius , a l’avantage de pouvoir être facilement retenu, en raison de ce qu’on l’obtient en partageant le nombre n3355 en 2 tranches de 3 chiffres; il est exact à moins d’un millionième près.

On a , par d’autres méthodes , poussé le calcul de la valeur de » jusqu’à i4<> décimales. Voici les 20 premières, qui sont plus que suffisantes dans les applications ordinaires :

Voici , de plus , le logarithme de ce nombre :

log. n = 0,49714 98726 94>53 85435.

IS° 33-. Il est souvent utile <ie connaître le nombre «les degrés ou des grades contenus dans l'arc qui, rectifié, est équivalent au layon (no 3at), coroll. a) : on y parvient en divisant 180° ou aoosr parle nombre «r; cl l’on obtient ainsi ou 63s’i, 66198. En multipliant ces nombres par

la longueur d'un arc, donné en parties du rayon, on a le nombre des degrés ou des gtades contenus dans cet arc.

N<> 338. Terminons ce chapitre par une application numérique. Problème. — Trouver la longueur, en mètres, d’un arc de 45“ao', dans un cercle d’un rayon égal h 5"|

E11 nommant a la longueur cherchée , on aura

= — H z. (n° 33o et surs'.) ;

ioo°

log. 5, 4... =0,73^3938 /og.45°i</ = 1 «G554 « 77

log.w = °t Cî)7 * 4tJÎ)