DES AIRES

N° 33g. Nous avons dit dans l’introduction (nD 2), que l’on nommait Aire, Y étendue considérée dans une surface. Cette étendue, pour être mesurée , c’est-à-dire pour cire évaluée en nombre , doit être rapportée à une unité. Or, la figure qui offre le plus de commodité à cet égard, et que l’on emploie ordinairement , est le carré construit sur un côté égal à l’unité de longueur ; et alors , confondant l'étendue avec sa mesure, on nomme Aire, le rapport d’une étendue superfcielle, à l'étendue superficielle du carré construit sur l’unité de longueur.— De là vient que l’on nomme quadrature , l’évaluation d’une aire.

§ Ier. — Mesure des Aires.

N° 340. Théorème I. Fig. 28a.

Fig.aSa. Deux rectangles , AD, AF, de’ même base AB , sont proportionnels à leurs hauteurs , AC,AE, — [c’est-à-dire : les aires de deux rectangles qui ont des bases égales, sont proportionnelles à leurs hauteurs].

D’abord, si les hauteurs étaient égales, en même temps que les bases , les rectangles seraient nécessairement égaux (n° 200) ;

• et de plus, il est évident que les rectangles de même base augmentent ou diminuent en même temps que leurs hauteurs.

Cela posé, faisons co'incider les bases AB; les côtés adjacens prendront la même direction, chacun à chacun. Admettons maintenant, pour fixer les idées, que AE soit contenu deux

MESURE DES AIRES. 267

fois dans AC, de A en G, avec un reste GC moindre que AE; Fig.a8a. puis, dans cette hypothèse, menons à AB la parallèle GI. Il est clair que le rectangle El sera égal au rectangle AF, et que le rectangle GD sera moindre que AF; par conséquent, le rectangle AD contiendra autant de fois le rectangle AF, en nombre entier, que la hauteur AC contient la hauteur AE.

On prouverait de même, en portant le reste GC sur AE et menant des parallèles, que le rectangle AF contient autant de fois le rectangle GD, en nombre entier, que AE contient GC ; et en continuant ainsi , on démontrerait

i° Que — Les quoliens successifs fournis , d'un côté par les rectangles , de l'autre par les hauteurs correspondantes , sont constamment égaux deux à deux ;

Et 20 que — La division de deux rectangles successifs l’un par Vautre ne peut donner de reste sans que les hauteurs correspondantes ne donnent aussi un reste ; — et réciproquement.

De là il résulte {voyez les nM 63 et suiv.j et le n° 121) que le rapport des rectangles AD, AF, est identiquement égal au rapport des hauteurs AC, AE: c’est-à-dire que l’on a