AD = AB X AC

Ainsi — Tout rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur : — c’est-à-dire que le rapport abstrait de Faire du rectangle AD à l’unité superficielle , est égal au produit des rapports abstraits des lignes AB et AC à l’unité linéaire , dans l’hypothèse où V unité superficielle est le carré construit sur r unité linéaire.

Fig.aSS- Par exemple, soit AB = 3 et AC = 4 (Gg- ^85); partageons AB en 3 parties égales et AC en 4 parties égales entre elles ainsi qu’aux premières ; puis menons, par les poiuts de division, des parallèles aux côtés du rectangle AD : nous aurons décomposé ce rectangle en 4 X 3 — 12 carres unitaires.

De là vient que l’on nomme quelquefois rectangle de deux nombres , leur produit.

On se sert aussi du nom commun de dimension ( voyez la note de la page 3 ) pour désiguer la base et la baulcur d’un rectangle; et alors 011 dit — qu’t/n rectangle a pour mesure le. produit de ses deux dimensions. '

— MESURE DES AIRES. afit)

La mesure d’uue surface quelconque est toujours exprimée , comme on le verra dans ce chapitre, soit par un produit de deux facteurs linéaires j soit par une somme de produits de cette espèce : ces deux facteurs se nomment encore dimensions, quelle que soit la figure à évaluer.

T'ouï carré a pour mesure la seconde puissance de son côté.

— De là le mot carré pour désigner la seconde puissance d’un nombre.

N® 343. Théorème III. Fig. 386.

Tout parallélogramme ABCD est équivalent à un rectangle Fig. 186 de même base et de même hauteur.

En effet, prolongeons le côté CD; et par les extrémités du côté opposé AB élevons les perpendiculaires AE, BF, terminées à la droite CD en E et en F. Cela fait, si nous retranchons de la figure totale ABDE, le triangle ACE, il nous restera le parallélogramme AD; et si nous retranchons de la même figure le triangle BDF, nous aurons pour reste le rectangle AF; or, les deux triangles ACE, BDF, sont égaux (n° 170): donc le parallélogramme AD est équivalent au rectangle AF de même base AB et de même hauteur AE.

Scolie. — Tout parallélogramme AD a pour mesure le produit de sa base AB par sa hauteur AE.

N® 344* Théorème IV. Fig. i44-

Tout triangle N OP est équivalent à la moitié d’un rectangle Fig. 144. de même base et de meme hauteur.

En effet, si par les points N et O, on mène respectivement à OP et à NP les parallèles NM et OM, on formera un parallélogramme MP double du triangle (n° 196, scol. a), et qui aura même base et même hauteur que lui ; or, le parallélogramme est équivalent à un rectangle de même base et de même hau—

' teur : donc , etc.

Scolie. — Deux triangles sont équivalons lorsqu’ils ont deux côtés égaux chacun à chacun comprenant des angles supplémentaires.

270 LIV. Il ; CIUP. IV ; § I. —

N° 345. Remarque sur la mesure du triangle. — Tout polygone e'tant décomposable en triangles, l’évaluation de l’aire d’un polygone quelconque se ramène toujours à celle de l’aire du triangle ; c’est pourquoi il est utile d’avoir plusieurs expressions de cette dernière ; nous allons indiquer les principales.

i° Il résulte immédiatement du théorème précédent, que

Tout triangle a pour mesure la moitié du produit d' un quelconque de ses trois côtés , pris pour base , par la hauteur correspondante.

a° On peut , au moyen Hc la formule trouvée clan» le numéro 18a , — Exprimer l’aire d'un triangle en fonction de ses trois côtes.— En effet , si dans l'expression — ch , laquelle , d’après ce qo’on vtent <le dire (t°), représente l'aire du triangle , ou met pour h sa valeur, on obtient , pour nouvelle expression de cette aire, V — a) (* — b) (i — c).

3° Il suffit de se rappeler ce qui a été dit au numéro 167 , et Fig. u;. de jeter les yeux sur la figure 127, pour voir que

'Tout triangle a encore pour mesure la moitié du produit de son périmètre par le rayon du cercle inscrit.

Fig.a'4^* 4° Enfin— Tout triangle ABC (fig. a4a) a pour mesure le produit de ses

trois côtés, divisé par le double du diamètre du cercle circonscrit.

En effet , BC étant pria pour base, et AI étant la hauteur correspondante, le triangle a pour mesure

* — BC x AI ;

mais alors, en supposant que AD soit le diamètre du cercle circonscrit, on a

(n° î8G, scol.),

d’où

donc

AB x AC = AD x Al; AB x AC

bi=:

triangle A MC —