AI

AB x BC x CA

a. AD

N° 346. Remarque sur la mesure des autres figures planes. — De la mesure du triangle dérive, comme nous venons de le dire , la mesure de toutes les figures planes.

Fig. i^q. Ainsi — i° Tout trapèze MP (fig. 149) a pour mesure le produit de sa hauteur par la demi-somme des côtés parallèles , ou par la droite qui joint les milieux des côtés latéraux (n° 206) 1 Car, en menant la diagonale MP, on décompose le trapèze

— MESURE DES AIRES. 27 I

en deux triangles qui ont respectivement pour base, chacune des bases du trapèze, et même hauteur que lui ; d’où , etc. *

20 Tout polygone régulier ABCDEF (fig. 167) a pour me- Fig. 167. sure la moitié du produit de son périmètre par son apothème :

C’est ce que l’on voit facilement en faisant la somme de tous les triangles intégrans (n° 228, scol. ter).

3° Plus généralement : — Tout polygone circonscriptible au cercle a pour mesure la moitié du produit de son périmètre parle rayon du cercle inscrit. — [Nous avons déjà vu ci-dessus (n“345, 3°) le cas particulier du triangle.]

4° Le cercle étant la limite (n° 240) des polygones qui lui sont circonscrits, ou bien pouvant être considéré comme uu polygone régulier d’une infinité de côtés infiniment petits , a aussi pour mesure la moitié du produit de sa circonférence [ rectifiée] , par son rayon.

De même — Tout secteur de cercle a pour mesure la moitié du produit de l'arc correspondant , par le rayon.

Quant aux segmens, suivant qu’ils sont plus petits ou plus grands qu’un demi-cercle, ils s’obtiennent toujours en augmentant ou en diminuant l’aire d’un secteur, de celle d’un triangle isocèle qui a pour base la corde correspondante et pour sommet le centre du cercle.

Au reste , pour ne rien laisser à désirer sur la mesure de l’aire du cercle , nous démontrerons tout à l’heure ces dernières propositions d’une autre manière.

N° 347» La décomposition en triangles n'est pas la seule que l’on puisse employer avec avantage pour évaluer Paire d'un polygone. Nous avons indique {fin do no 217), un autre genre de décomposition qui rend celte évaluation encore plus facile h effectuer : le polygone (fig. 1G2) se trouvant Fig. 16a. partage en trapèzes et en triangles rectangles, on n'a h considérer, pour en avoir la mesure, que des distances comptées sur la droite AE, à partir du point A [distances que l'on nomme abscisses], et des perpendiculaires [ou ordonnées (n* £8, scol. a)] à celte droite : l’aire du polygone total est la somme des aires des figures partielles.

Si |lc polygone avait, au lieu du côté CD, un aogle rentrant CKD tel que DK coupât la perpendiculaire Ce, on mènerait CD et l’on opérerait de la même manière , en observant toutefois de retrancher «lu résultat obtenu , l'aire du triangle CKD. — Etc etc.

'2*)7 LIV. Il; CHAP. IV; $ I. —

On peut encore cnceindre le polygone dans un rectangle MP dont oîf évaluera Paire; puis, après avoir abaisse des perpendiculaires B b' , Dcf'. . . , sur les côtes opposes MN, OP, on retranchera, de Paire du rectangle, celles des triangles et des trapèzes AM&'B, Bô'C... : on aura ainsi Paire du polygone.

On emploie des moyens analogues aux précédons , pour évaluer par approximation, Paire d'une surface plane terminée par une ligne courbe Fig.387. ABCDEFGI (fig. 287). On peut d'abord en séparer un polygone ACEG ; et alors il reste h évaluer les portions niixtilignes ABC , CDE, etc. . . .

Pour évaluer ABC par exemple, partageons la droite AC en parties égales très petites, AM,MN,NO. . . ; puis élevons, par les points de division, les perpendiculaires Mm, Nn, Oo...., terminées h la courbe. Si les division» de la droite AC sont suffisamment petites , les portions de courbe Am , n/n , no... y pourront , sans erreur sensible, être regardées comme de petites ligues droites ; cl l’on aura approximativement :

AMm = - AM x Mm,

f X (Mm+Kn),

NOon = ^ NO x (Nn -+• Oo),

OP po = OP x (Oo -f- P j>),

PCp = PC x P

<Poù , puisque AM ss MN = NO. . . . ,

ABC— AM x (Mm-f Kn + Oo+Pp).

F.lc.f etc .

Si Ton voulait évaluer un espace tel que MNOPponm, qni ne contien t que des trapèzes, on obtiendrait l'expression

lMm + Nn + Oo + 1. P;> ).

Cette méthode donnera un résultat d'amant plus exact, que les divisions AM, MN..., seront plus petites.

L'application des divers procédés que nous venons d'indiquer, & la mesure des terrains , constitue la science de P Arpentage , branche de la Géométrie pratique , pour laquelle nons ne pouvons mieux faire que de renvoyer h l'excellent Manuel *P Arpentage «le M. Lacroix.

Terminons par les démonstrations relatives au cercle , dont nous avons parlé ei-dessus , en donnant toutefois, à leurs énoncés, une forme propre ;i les rendre indépendans de l'uniu ? de surface ( n° 33() ).

— MESURE DES AIRES

N* 348. Théorème V. Fig. 288.

Tout cercle O A. est équivalent à un triangle qui aurait pour Fig. 1S8 base la circonférence rectifiée , et le rajron pour hauteur.

Supposons en effet que le produit J OA X«rc. OA, mesure du triangle que nous venons de désigner, ne soit pas en même temps la mesure du cercle OA. Alors, cette mesure appartiendra nécessairement à quelque autre cercle d’un rayon plus grand ou plus petit , attendu qu’il [y a des cercles de toutes les grandeurs possibles. Soit donc , si l’hypothèse est admissible, ï OAXcjVc. OA = cercle OA' ,

OA' étant, par exemple, <0A.

Cela posé, inscrivons au cercle OA un polygone régulier dont les cùtés ne rencontrent pas la circonférence 0 A' (n° 3?.6j ; représentons l’aire de ce polygone par pol. OA. sou périmètre pai • périm. OA ; et soitOB son apothème. Nousaurous (n* 346) :

j OB X périm. OA = pol. OA .

Or, en comparant les deux égalités, comme onaOB •" OA et périm. OA < cire. OA, il s’ensuit que l’on devrait trouver pol. OA cercle OA', tandis qu’au contraire on a

pol. OA > cercle OA' ; d’où résulte une absurdité.

On prouverait de même que i OA X cire. OA ne peut être la mesure d’un cercle plus grand que le cercle OA. [ Le raisonnement est un peu plus simple dans cette seconde hypothèse quand on circonscrit un polygone au cercle OA , parce que le rayon OA est alors facteur commun.]

Corollaire 1". — Si l’on nomme r le rayon d'un cercle et d son diamètre, son aire aura pour expression rr% ou ~ %d‘ ( voyet le n° 327, coroll. ).

Coroll a. — Le cercle est plus grand que tout polygone régulier isopérimèlre ( n° 240).

274 LIT. 11 ; CHAP. 1* ï $ »- —

On peut démontrer la meme chose relativement h un polygone quelconque ( t'osez /a Géométrie <le M. Legevdre ) ; et il s'ensuit que

Le cercle est , de toutes les figures, celle qui , pour un périmètre donné, a le maximum d'aire , ou ÿui, pour une aire donnée , a /e minimum c/e périmètre.

N* 34g. Théorème VI. Fig. 389.

Fig. 189. Tout secteur de cercle, AOB, est équivalent à un triangle qui aurait pour base l'arc correspondant AB [supposé rectifié], et le rayon OA pour hauteur.

En effet , on a ( n° 125 ) :

sect. AOB t { OA X cire. OA J arc AB ; cire. OA ; d'où l’on tire sect. AOB == g. OA X arc AB.

Coholi.a ire. — Tout segment A C B plus petit qu’un demi-cercle a pour mesure la moitié du produit du rayon OA par l’excès de l’arc correspondant ACB sur le sinus BD (n°88,fco/. 2).

En effet , on a : segment ACB = secteur AOB — triangle AOB ;

or secteur AOB — j OA X arc AB,

et triangle AOB = [ OA X BD :

donc segment ACB = jOA X ( arc AB — BD ).

On démontre de la même manière , que

Tout segment plus grand qu’un demi-cercle, a pour mesure la moitié du produit du rayon par la somme de l’arc et du sinus.

N* 35o. Théorème VII. Fig. 290.

Fig. ago. ta couronne circulaire (n° g3, scol.) comprise entre deux circonférences concentriques , OA, OA', est équivalente à un cercle qui aurait pour diamètre une corde CAT) de la circonférence extérieure, menée tangenlicitement à ta circonférence intérieure.

En effet, l’aire de 1s couronne a pour râleur (n°348, corail. i«r): »(OA* — OA'*) = »(OA -f- OA') (OA — OA'), {page 218, note),

= ir.BA' x A'A= ». A'C* (n« 374, scot. 3 , t*) ; C. Q. F. D.

Sentie. — On peut encore mesurer une couronne circulaire au moyen d’une formule analogue à celle que noua allons donner dans le théorème suivant.

— MESURE DES AIRES

N® 35 1. Théorème VIH. Fig. 391.

Le trapèze circulaire ABB'A', formé de la différence Fig. 191. de deux secteurs semblables, AOB, A'OB', est équivalent à un trapèze rectiligne qui aurait des bases équivalentes, et la différence des rayons pour hauteur.

Superposons d’abord les deux angles au centre ; puis, par le point Br élevons sur le rayon OB une perpendiculaire BC équivalente à l’arc AB supposé rectifié ; tirons OC et menons encore , dans le triangle OBC, B'C' parallèle à BC. Nous aurons ainsi :-i •

ab : a'B' :: ob : ob' :: bc : B'C';

or, par hypothèse, AB = BC: donc A'B' = B'C'.

Il résulte de là que le secteur AOB est équivalent au triangle EOC, et le secteur A'OB' au triangle B'OC ; donc le trapèze circulaire ABB'A' est équivalent au trapèze rectiligne BCC'B'; C. Q. F. D.

Scolie. — La figure ABB'A' a donç pour mesure BB'xK^+B'C'), (n* 346, f), = AA'x i(AB-f-A'B'); et par conséquent, elle est équivalente à la somme de deux secteurs décrits d’un même rayon égal à AA', et dont les bases seraient respectivement équivalentes aux arcs AB et A'B'.

De plus, si par le point a milieu de AA', ou décrit, du point O comme centre et du rayon Oa, l’arc ab semblable aux arcs AB, A'B', on aura

ab : a'B' : ab :: bc : B'C' : bc,

d’où (page 19g, note **)

AB -f A'B' : ab :: BC + B'C' : bc -, et cortime (n® ao6) ùc = ; (BC -f- B'C'),

il en résulte encore '* ab s= i ( AB -f- A'B' ) ; et par conséquent la figure ABB'A' a aussi pour mesureple produit AA'xaù.

Ltv. U; Cüap. IV; S I».—

§ II. — Comparaison des Aires.

N* 35a* Théorème IX. Fig. 29a et 2g3.

Les aires des triangles, ABC, ADE, qui ont un angle égal A, sont proportionnelles aux rectangles des côtés qui comprennent l’angle égal.

Après avoir superposé les augles égaux , menons BE : les deux triangles ABC, ABE, pourront être considérés comme ayant respectivement pour bases AC, AEj ils auront donc pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée du sommet commun B sur la droite AC j et par conséquent ils seront proportionnels à leurs bases (n° 345, t°), c’est-à-dire nue l’on aura :

H ABC : ABE :: AC : ae.

En comparant de même les triangles ABE, ADE, on aura encore :

abe : ade :: ab : ad.

Maintenant, si l’on multiplie ces deux proportions par ordre , et que l’on supprime , dans les deux termes du premier rapport, le facteur commun ABE, il viendra :

abc : ade :: ab x ac : ad x ae ;

Scolie 1". — La réciproque n’est pas vraie.

Seul a — Le théorème précédent ponrr.it «e démontrer pin» simplement d’aprè. 1. scolie do numéro 34*. en oUervunt que chaque mangle e.t U moitié d’an parallélogramme con.trnit »nr denx de .es côte, et I angle compris. - Et par conséquent on pourrait remplacer l’.ugle égal de l enoncé , pat l'angle .npplémenlaire.

Corollaire i*. - Le triangle ABE (fig. 29a) serait moyen proportionnel entre les triangles ABC, ADE, si BC et DE étaient parallèles ; en effet , on aurait dans ce cas :

AB : ad :: AC : Æ-,