COMPAS. DES AISES

N° 355. TnÉonÈME XII.

• Si les lignes homologues de deux figures semblables sont proportionnelles aux lignes homologues de deux autrei figures semblables [ entre elles , mais non pas nécessairement semblables aux premières], les aires des quatre figures seront proportionnelles ; — et réciproquement.

Soient A , B , les deux premières figures , et a , b , deux de leurs lignes homologues : on aura Jn°354)

Soient de même C, D, les deux dernières figures, çt i, d, deux de leurs lignes homologues ; on aura encore

Mais, par hypothèse , a ; b ” c : d, d’où a", b*:: c". d'-, '

donc a : B :: c : D ; cq.f. d.

— Il serait facile de prouver pareillement, en enversant la démonstration , que si

il en résulté réciproquement

Scolie. — La proposition a egalement lieu qud les quatre figures sont toutes semblables entre elles.

Corollaire. — Si trois figures sont semblait, et qu’une ligne de l’une soit moyenne proportionnelle tre les lignes homologues des deux autres , l’aire de la prenre figure sera moyenne proportionnelle entre les aires des ax dernières;

— et réciproquement. '

N° 356. ■ Remarque générale sur les aires - Nous terminerons ce chapitre et le second Livre par uapprochement très important. 1 . ’ ' ; z ,

a8o LIT. Il; Cn*P. !T; § II.—

Dans les deux derniers paragraphes du premier chapitre de ce Livre, ainsi qu’en divers autres endroits, nous avons démontré un grand nombre de théorèmes dans lesquels on considère le produit des valeurs numériques de deux lignes. Or, nous tavons maintenant qu’un semblable produit représente e rectangle construit sur les deux lignes ( n° 34a) : [ rectangle qui devient un carré lorsque ce3 deux lignes sont égales]. — Or, de là résulte une nouvelle interprétation toute géométrique de ces théorèmes , et une nouvelle manière de les énoncer.

C’eit ainsi, par exemple, que les formules à' Algèbre que nous «vous rappelées aux pages si4, 2i5, et 218, donnent lieu tux théorèmes suivans j

l'ig.jgfi. 10 Le carré construit sur la somme AC (tig. 296) de deux ligne , AB, BC, est équivalent au carré construit sur la première,pus le carré construit sur la seconde , plus le double du rectaigb construit sur les deux lignes ;

20 Le arré. construit sur la différence A B ( fig. 296 ) de deux lignes. A’, BC, est équivalent au carré construit sur la première , pts le carré construit sur la seconde, moins le double du rectange construit sur les deux lignes ;

* 'g- 39T- 3° Le retangle AF (fig. 297 ) construit sur la somme AC et

la différents AD [ = AE] de deux lignes', AB, BC [= BD], est équivale t au carré AI construit sur la plus grande , moins le carré GI onstruit sur la plus petite ,

II suffit, jour ainsi dire , de jeter les yeux sur les figures relatives à cei théorèmes, pour en reconnaître sur-le-champ la vérité.

Mais tout» les propositions de ce genre ne sont pas immédiatement delà même évidence ; et un grand nombre d’entre elles exigeraient des démonstrations spéciales. Nous nous bornerons ici à considérer celles que l’on déduit des théorèmes démontrés aux numéros 275,276, et 277 , et dont la première , qui est la plut importante , n’est qu’un cas particulier du corollaire a* du théorème xt (n° 354)- — Il existe un très grand