Théorème XIII (*). Fig. 298 et

Le carré BCDE construit sur l’hypoténuse BC d'un triangle Fig-a*#. rectangle ABC est équivalent à la somme des carrés , ABFG ,

ACIK , construits, respectivement sur les deux autres côtés ,

AB, AC. — [Voyez le n° 275.]

1" Démonstration. — Les trois carrés étant supposés construits en debors du triangle ABC (fig. 298), abaissons, du sommet A de l’angle droit, une perpendiculaire AL sur l’hypoténuse, et prolongeons cette perpendiculaire jusqu’à la rencontre de DE en M : le carré BE se trouvera décomposé en deux rectangles BM et CM/ — Menons de plus AD et CG.

Cela posé , les angles ABD et GBC sont égaux comme étant respectivement composés d’un angle droit et d’une partie commune ABC. Déplus, AB = BG, et BC = BD, comme étant deux à deux les côtés d’un même carré ; donc

triangle DBA = triangle CBG (n® 1 70).

Maintenant, le triangle DBA est moitié du rectangle BM (n° 344 ) comme ayant même base BD et même hauteur BL ; et de même , le triangle CBG est moitié du carré AG comme ayant même base BG et m|me hauteur BA ; donc

rectangle BM = carré AG.

On prouverait de même que

rectangle CM = carré AK ;

cl comme rectangle BM -f- rectangle CM = carré BE, il en résulte

carré BE — carré AG -f- carré AK ; C. Q. F. D.

(*) Attribue A Ptthagore, qui tacrifia , dit • on , nne hécatombe, pour remercier les dieux de sa decouverte.

28a uv. h. ; cuap. itj $ u. —

3* Démonstr. — Les trois carrés étant disposés comme dans la démonstration précédente, construisons, en dcliors de la figure, le triangle INED Fig. 299- (Gg. »99) égal au triangle ABC, en faisant l’angle DEM = ABC, et l’angle KDN =ACB; pnis menons les droites AN, G AK, et FI. Cela posé, il est facile de prouver que les quatre quadrilatères ABDN, NEC A , GBCK , «l GF1K, sont égaux (n* an); d’où il résulte, d'abord que les deux lrexagçncs ABDNEC et GBCK1F sont équivalens , et ensuite, par la soustraction des triangles éganx ABC, NED, AFI, que le carré BE équivaut à la somme îles carrés AG et AK. — (Aoyer le Manuel de Géométrie de M. TEaQur.ni.)

3* et 4* Démonstr. — On construit un carré sur la droite AO égale Fig.3oo. 4 la somme AB -h AC (lig. 3oo) , ou à la différence AB — AC ;fig. 3oi), puis un autre carré sur l’hypoténuse BC , comme l'indiquent les deux figures. Alors, on voit que le carré construit sur cette somme (fig. 3oo) ou sur cette différence (fig. 3oi) , se compose en augmentant (Gg. 3oo) ou eu di- Fig.3ot. minuant (Gg. 3oi) le carré construit sur l’hypotcnuse , de quatre fois le triangle propose, c'est -à -dire de deux fois le rectangle construit sur 1rs côtés de l’angle droit. Comparant ces résultats avec la composition connue dn carte construit sur la tomme ou snr la différence de deux ligues (n* 356, 1* et a*), on en conclut facilement la proposition dont il t’agit.

l ig.3oa. Corollaire. — Le. carré MP ( 6p. 3o». ) construit sur la diagonale d’un autre carré AD est double de celui-ci (voyez les n°* 375, coroll. i" ; et 3 1 4 » *col. 1er).

Scolie. — La proposition sur laquelle est fondée la première des démonstrations ci-dessus, n’est qn’un cas particulier d'un théorème plus général que nous allons donner, et snr lequel nous nous appuierons pour démontrer les deux autres théorèmes dont nous avons parlé plna liant (n* 35G'.

N° 358. Théorème XIV. fig. 3o3 et 5t>4-

Fig. 3o3 Dans un triangle quelconque ABC, les rectangles construit* sur deux et 3o4* cités , AB , AC , et les projections mutuelles , A c , Ab, de l'un sur l'autre, sont équivalent.

En effet, soient faits les angles droits BAP, CAO; puis, AP = AB, cl AQ = AC. En menant CP, BQ, on formera comme ci-detsnt (n° 35^ 1 re démonstr.) , deux triangles CAP, BAQ, égaux entre eux comme ayant deux côtés égaux chacun 5 chacun , comprenant on angle égal , composé d’un angle droit plus l’angle BAC (Gg. 3o3), on plus son supplément (lig. 3o j). Or, le triangle CAP est moitié du rectangle cP, et le triangle BAQ est moitié du rectangle iQ(n« 344) jdonc les deux rectangles sont cquivalens.