CHAPITRE PREMIER

DES DROITES ET DES PLANS PERPENDICULAIRES ENTRE EUX; ET DES OBLIQUES AU PLAN.

N° 410. On sait (n° 81, 2°) que par un point pris sur une droite, on ne peut mener, dans un même plan avec la droite, qu’une seule perpendiculaire à cette ligne. Mais aussi, comme par une droite (n° i4) on peut mener une infinité de plans, il s’ensuit que

Par un point 0 (fig. 33o) pris sur une droite AB, on peut Fig.33o. mener une infinité de perpendiculaires distinctes.

Lesquelles déterminent, conjointement avec la droite AB, une infinité de plans distincts, ayant^tous, deux à deux, cette droite pour intersection commune.

Or, on peut considérer ces perpendiculaires, comme n’étant autre chose que les positions successives d’une même droite, mobile autour de la première de manière à faire toujours avec elle , au point O, deux angles égaux entre eux ; [et nous établirons tout, à l’heure que ces perpendiculaires sont toutes dans uu même plan].

N° 411. Cela posé, en admettant la vérité de l’assertion précédente, tout Plan , lieu des perpendiculaires menées à urfe droite par un de ses points, est dit Perpendiculaire à la droite ;

3ao liv. in ; chap. i ; —

Et réciproquement , une Droite est dite Perpendiculaire à un plan, lorsque [rencontrant cette surface] elle est perpendiculaire à toutes les droites que l’on peut mener par son Pied ( n° 76) dans le plan.

Lorsqu’une droite perce un plan saus cependant satisfaire à la condition que l’on vient d’énoncer, elle est dite Oblique au plan , et le plan est dit oblique à la droite. Le point d’intersection de la droite avec le plan est encore dit le pied de l'oblique (n° 79).

Nous de'montrerons de plus (n° 4 2 3) 1 que le Lieu des perpendiculaires élevées par les différons points d'une droite tracée dans un plan, est un autre plan : et cette propriété étant réciproque, les deux Plans sont dits Perpendiculaires entre eux.

N° 4f2. Lemme I. Fig. 53 1.

33, Si une droite OA est perpendiculaire à deux autres droites , OB , OC , menées par un de ses points 0 , elle est perpendieu laire à toutes celles que Von peut mener par le même point dans le plan MN de ces deux autres droites.

Soit OD une quelconque de ces droites : il suffit de prouver que OA est perpendiculaire à OD. Pour cela, prolongeons OA. de l’autre côté du plan, d’une quantité OA' = OA ; prenons sur les deux droites OB, OC, deux points quelconques B, C [de manière toutefois que la droite OD se trouve dans l’angle BOC]; tirons BC, et soit D le point d’intersectiou de BC avec OD ; enfin menons AB, AC, AD, A'B, A'C, A'D.

Cela posé, AB = A'B (n° 85), et AC= A'C; donc (n° 169) les deux triangles ABC et A'BC sont égaux de telle manière que, dans leur superposition mutuelle, les droites AD, A'D, coïncideraient : donc OD est perpendiculaire à OA (n° 85).

Corollaire. — Si une droite est perpendiculaire à deux autres droites menées par son pied dans un plan , elle est perpendiculaire au plan (n° 4 1 0-

PERPENDICULAIRES ; etc.

N° 4* 3* Lemme II. Fig. 33a.

Réciproquement : — Si une droite OA est perpendiculaire à Fig. 33a. trois autres, OB, OC, OD", menées par un de ses points , O, celles-ci sont toutes trois dans un même plan.

Pour le prouver, soit MN le plan des deux droites OB, OC; et supposons que OD ne soit pas dans ce plan. Soit encore AD le plan des deux droites OA et OD. Les deux plans se couperont suivant une droite OD' qui , par hypothèse, différera de OD.

Mais Alors OD et OD' seront perpendiculaires à OA, et dans un même plan avec OA ; — Ce qui est absurde (u“ 8i , a°).

Corollaire. — Tant de droites que l'on voudra , perpendiculaires à une même droite en un même point, sont toutes dans un même plan.

Par conséquent : — Si l’on fait tourner un angle droit autour de l’un de ses côtés, l’autre côté engendrera ( n° 37g) un plan ; ou en d’autres tenues , le lieu des perpendiculaires élevées sur le premier côté par un de ses points, est un plan, comme nous l’avons énoncé ci-dessus (n® 4>°).

N° 4l4* Tiiéorène I. Fig. 553.

Par un point O pris sur une droite AB, — i° On peut tou- Fig. 333. jours élever un plan perpendiculaire ; — et — 2“ On n'en peut élever qu’un.

1® La première partie de la proposition est évidente, puisque d’après ce qui précède (n® 4,a) elle revient à dire que l’on peut élever à la droite AB, par le point 0, deux droites perpendiculaires distinctes. Et en effet, le plan de ces perpendiculaires esllui-métne perpendiculaire à la droite AB.

2° Soient MN et M'N' deux plans perpendiculaires à AB au même point 0, et GK leur intersection commune. Par la droite AB menons un plan qui ne passe pas suivant GK, ce qui est possible d’une infinité de manières (n° 14 )- Soient OC,