II». III ; CHAP. I

Fig. 33S. leur point d’intersection 0. Donc cette droiteOP est perpendiculaire au plan des deux droites GK , MN , c’est-à-dire au plan AB.

Fig.?37. 2° Soient, s’il est possible, OP, OP' (Gg. 33>j), deux perpen-

diculaires au plan AB: le plan de ces deux droites coupera le plan AB suivant une droite GK ; mais alors ( n° 4 1 1 ) OC et OC' seront perpendiculaires à GK et dans un même plan avec GK ; — Ce qui est absurde (n° 8i , a”).

N* 4*8. TnÉORÈME V. Fig. 558 et 33g.

Fig. 338 D’un point 0 pris hors d’un plan AB, — t° On peut tou jours abaisser une perpendiculaire , — et — 2° On n’en peut abaisser qu'une.

tu Supposons de même que l’on mène, dans le plan AB (Gg. 338) , une droite quelconque MN , puis par le point O un plan perpendiculaire à MN, dont l’intersection avec cette droite soit le point I, et dont l’intersection avec le plan AB soit la droite IP. Cela posé, du point 0 abaissons sur IP la perpendiculaire OP ; prolongeons OP d'une quantité P'0 = P0; et menons les droites 01 , O'I : ces droites seront égales (n°84, i°); et la droite MN leur sera perpendiculaire, puisqu’elle est perpendiculaire à leur plan. Alors, si l’on prend sur MN un point quelconque L, et que l’on mène OL, O'L, on aura deux triangles OIL, O'IL, rectangles en I, et égaux entre eux (n° 170). Donc 0L=0'L ; donc PL est perpendiculaire surOP ; doncOP, perpendiculaire à la fois aux denx droites PI, PL, est perpendiculaire à leur plan ; C. Q. F. D.

a3 (fig. 339). — Même raisonnement que pour le théorème précédent (n* 4 * 7> *°).

Scolie. — La considération des droites MN et OP (fig. 338) , perpendiculaires à la fois sur la droite IP, et non comprises dans un même plan (n° 3<)6), fait voir que

Dans F espace, deux droites peuvent être perpendiculaires à vne troisième sans être pour cela parallèles entre elles.

— KRPEND1CCLAIRES ; etc.

N° 4*9- Théorème VI. Fig. 340.

La perpendiculaire OC abaissée sur un plan AB, d'un Fig. 34#. point extérieur 0, est le plus court chemin de ce point au plan.

En effet, soit une oblique quelconque OD menée du point O au plau AB. Eu tirant la droite CD , on formera un triangle OCD dont OD sera l’hypoténuse ; d'où OC < OD (n° 83) ;

Corollaire. — La perpendiculaire abaissée d'un point sur un plan mesure la vraie distance du point à ce plan .

ScoliE. — (La distance CD est dite la projection de la droite OD sur le

plan AH [En général, la projection d’une droite déterminée de grandeur,

MN (fig. 3 ji), sur un plan iudélini AB, est la distance PQ des pieds des Fig.ljt. perpendiculaires abaissées des extrémités delà droite sur le plan. — Nous démontrerons plus loin (n* 4*3, corotl. ■*') que les perpendiculaires abaissées des dificrens points de MN sur le plan AB, sont toutes dans un même plan , et que leurs pieds sont tous situés sur la droite PQ ( voyez le n» 41 — [Quand la droite est perpendicnlaire an plan, la projection se réduit 11 un point qui est le pied de la perpendiculaire.]

L’angle ODC (fig. 3jo) que la droite OD fait arec sa projection CD, Fig.34o. est dit l'angle de projection , ou l’inclinaison de la droite sur le plan AB, on simplement l'angle de la droite et du plan : il est complémentaire de l’angle que fait la même oblique OD avec la perpendicnlaire OC menée par le même point O.

N* 430. Théorème VII. Fig. 34a*

Si d’un point 0 pris hors d’un plan AB on mène la perpen- Fig. 34a. diculaire OC et différentes obliques OD, OD', 0D',.t. OE, à ce plan :

1° Deux obliques , OD, OD', qui s’écartent également de la perpendiculaire , sont égales y et elles sont également inclinées sur le plan;

a0 De deux obliques , OD, OE, qui s'écartent inégalement de la perpendiculaire , celle , OE , qui s’en écarte le plus est la plus longue j et elle est la plus inclinée sur le plan.