OD = OD

et entoile ODC = OD'C = OD”C. . . . ;

Généralement : — Si du point C comine centre , et d’un rayon égal à CD , on décrit une circonférence dans le plan AB, toutes les obliques qui lieront le point 0 aux divers points de la circonférence, seront égales; et clics seront également inclinées sor le plan;

2° Si, les trois points C, D, E, étant supposés en ligne droite , on a CE > CD ,

on aura aussi 0E> OD, et OEC <OED (n« 117);

D’ailleurs, la même conséquence aurait encore lieu quand bien même les trois points C, D, E, 11e seraient pas en ligue droite, puisque, d’après la première partie de la proposition, on peut remplacer l’oblique OD par toute oblique OD' dont la distance à la perpendiculaire serait la même.

Scolic. — Le théorème précédent donne lieu à plusieurs réciproques analogues à celles des numéros 84 et 1 17 , auxquels il nous suffira de renvoyer.

Corollaire. — D’un même point on peut concevoir une infinité de droites égales menées à un même plan [pourvu qu’elles soient plus grandes que la perpendiculaire].

De plus , toutes ces droites étant également distantes de la perpendiculaire, il s’ensuit que

Un point quelconque 0 d'une perpendiculaire OC à un plan , peut servir à décrire dans ce plan une circonférence dont son pied soit le centre.

Cette perpendiculaire se nomme l 'axe du cercle. Tous les points de l’axe peuvent être considérés comme autant de centres du cercle, et les obliques comme des rayons correspondans , lesquels peuvent être également employés à le décrire.

PERPENDICULAIRES; etc.

N° 421. Théorème VIII. Fig. 545.

18 Tout point O de la perpendiculaire élevée sur le plan frig.343. d’un cercle CA par son centre C , est également distant de tous les points de la circonférence ;

a* Tout point G extérieur à la perpendiculaire , est inégalement distant des divers poihts de la circonférence.

En effet : — 1° Les distances du point 0 à tous les points de la circonférence CA sont des obliques égales (n° 84) ;

9° Si du point G on abaisse , sar le plan du cercle , la perpendiculaire GI, les distances do point I aux divers points de U circonférence CA n’étant pas égales entre elles (n# 179), les obliques correspondantes, c'est-à-dire les distances du point G aux points corrcspondans de cette circonférence, ne le seront pas non plus (n° 4?°)*

Corollaire iw. — L'axe d'un cercle est le lieu des points qui sont également distans de tous les points de sa circonférence.

Scolic. — Tout point pris dans le plan du cercle CA , et different dn centre C, ne pouvant être à la fois egalement distant que de deux points au plus de la circonférence (n° 16G, coroll . 3) , il s'ensuit aussi que tout point G extérieur h la perpendiculaire CO ne peut être également distant que de deux points au plus de la même circonférence. — De là résultent encore les corollaires suivuns :

Coroll. 9 — Tout point également distant de trois points de la circonférence d’un cercle CA appartient à son are ;

Et par suite il est egalement distant do tons les points de cette circonférence.

Coroll. 3. — Puisque deux points déterminent uue droite.

Si deux points sont respectivement à égale distance de trois points d’une circonférence de cercle , la droite menée par les deux premiers points sera l’axe du cercle .

Caroll . 4- — Si du point G ou mène des droites à tous les points de la circonférence :

1® La plus grande et la plus petite de toutes ces droites seront les droites GA et GB, contenues dans le plan déterminé par l’axe CO et le point G (voyez le n° 178).

9° De deux droites GP, G Q, ccllc-Ià sera la plus longue qui sera la pins rapprochée de la distance maximum GA, e; celle-là sera la plus courte qui sera la plus rapprochée de la distance minimum GB ( voyez le n° 179).

3a8 LiV . Ht; CHAP. I; —

rig.3j3. ioutet ces {iroposition» résultent c!e la comparaison des triangles rectangles (il A, GUI, GIP , GIQ , dans lesquels le côté GI étant commun, les côlds LA, IB, IP, IQ, sont les distances des obliques h la perpendiculaire (n° ^aO/j et les hypoténuses sont les obliques clies-mdmes.

iV. B. — Noos supprimons les réciproques qui n’offrent aucune difficulté d'aprèf tout ce qui précède.

N° 422. Théorème IX. Fig. 344.

Fig.34î- L'angle que fait une oblique GC à un plan MN avec ta projection IC sur ce plan, est le misimcm des angles que fait cette oblique avec toutes les droites que l’on peut mener par son pied dans le plan.

En effet, décrivons dans le plan MN, du centre C, el du rayon CI , nne circonférence ; menons divers rayons CP, CQ..., h cette circonférence; par le point I menons le diamètre ICA; et enfin menons GA, GP, GQ...GI.

Cela posé , comme on a

IA >IP >IQ ..(n-go),

il en resuite GA > GP > GQ > GI (n«4io):

^ G CA > GCP f> GCQ .. > GCI (a0 tji , rccipr.)j

Scolie. — Le raisonnement precedent pronvo de pins, que les angles GCA, GCP, GCQ... vont en diminuant depuis GCA qui est leur maxi~ mum , jusqu’il GCB qui est leur minimum et le supplément de GCA.

Il en résulte, par soitc, que

Une droite est nécessairement perpendiculaire à un plan lorsqu'elle est également inclinée sur trois autres droites menées par son pied dans le plan.

N° 4a3. Théorème X. Fig. 345.

Fig.345. Deux droites, AB , CD , perpendiculaires à un même plan MN , sont parallèles.

Pour le prouver, menons la droite BD par les pieds de ces perpendiculaires. Puis, par un point quelconque 0 de cette droite, élevons, dans le plan MN, la perpendiculaire EF ; et prenons OE=OF.

Cela posé, nous aurons BE = BF (n° 84); d’où AE = AF (n° 420). Par conséquent, la droite AB a deux points A, B, situés dans le plan perpendiculaire à la droite EF, menés par le point 0 ; donc elle y est contenue tout entière. <

Même démonstration pour la seconde droite CD.

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— PERPENDICULAIRES J ÊlC. 329

Donc les droites AB, CD, sont dans un même plan; et Fig. 345. comme elles y sout perpendiculaires à une même droite BD, elles sout parallèles ; C. Q. F. D.

Corollaire t". — Tant de droites que l’on voudra , menées perpendiculairement à un plan MN par les différons points d une droite [ contenue ou non dans ce plan : on suppose seulement qu’elle ne lui soit pas perpendiculaire] sont toutes dans un même plan ;

C’est ce plan , nécessairement unique pour la même droite , que nous avons nommé perpendiculaire au plan MN (voj'cz les n°* 4n ; et 4*9, scol.).

Par suite — Les pieds des perpendiculaires sont tous sur une même droite , intersection des deux plans, et projection de toutes les droites que l’on peut tracer dans le plan de ces perpendiculaires (n® 4 >9 scol.).

Coroll. a. — La propriété énoncée dans le corollaire pré» cèdent, étant nécessairement réciproque, il s’ensuit que

Quand un plan est perpendiculaire à un autre, réciproquement celui-ci est perpendiculaire au premier ;

C’est pourquoi les deux plans sont dits perpendiculaires entre eux (n“ 4t t).

Scolie. — Deux plans perpendiculaires entre eux partagent /'espace indéfini en quatre angles dièdres égaux.

N° 424. Théorème XI. Fig. 346.

Lorsqu'une droite AB est perpendiculaire à un plan MN , Fig.3iC. tout autre plan CF mené suivant la droite , est perpendiculaire au premier; — et réciproquement.

En effet, toutes les droites menées perpendiculairement au plan MN , par les differens points de l’intersection commune EF, sont dans un même plan qui a lès deux droite.» AB, EF, communes avec le plan CF (n° 4^3 , coroll. i**) , et qui par conséquent se confond avec lui ; donc , etc.

Réciproquement : — Lorsque deux plans , MN, CF, sont perpendiculaires entre eux ,