OU CERCLE

En effet, plions la figure suivant AD, ou faisons tourner Fig. 9. la partie ABD autour de AD comme charnière (n° 1 3) , de façon que cette partie vienne s’appliquer sur l’autre partie ACD. 11 est e'vident que la première des deux portions de cercle, ABD, recouvrira parfaitement la seconde, ACD: car si l'une des deux portions pouvait déborder l’autre, tous les points de la circonfe'rence ne seraient pas également distans du centre , ce qui implique' contradiction avec la définition du cercle (n° 16).

Ainsi le diamètre AD [ou tout autre] divise le cercle en deux ' demi-cercles , et la circonférence en deux demi-circonférences.

N® 19. Une portion quelconque, ACB ou ADB (fig. 10) , Fig. 10. de circonférence [ainsi terminée aux deux points, A, B], se nomme un Arc de cercle.

L’arc prend le nom de quadrant quand il est le quart de la circonférence.

Quand deux arcs peuvent se placer de manière à avoir le même centre e’t les mêmes extrémités, ils appartiennent nécessairement à des circonférences égales ( 11® 17); — et alors , ou ils sont égaux , ou ils forment ensemble une circonférence entière.

La portion de droite, AB , comprise entre deux points , A , B, de la circonférence , est dite la Corde , ou la sous-tendante , de l’arc ACB, ou de l’arc ADB. — Chaque corde sous-tend ainsi deux arcs qni forment ensemble une circonférence entière.

Il résulte de là , que

L’arc détermine la corde ;

Mais non réciproquement , puisqu'un arc n’a qu’une seule

avec cc* mêmes lettres : c’est de la première manière qo’ // faut tes retenir de mémoire.

Ainsi , l’cnoncé ci-dessus doit être déxcloppé comme il suit :

« Tout diamètre divise le cercle et sa circonférence en deux parties » égales; — Soit, par exemple, un cercle ABC, et AD l’an de ses diamè- * très : je dis que les deux parties, AODB , AODC , du cercle , sont égales, » ainsi que les deux parties, ABD, ACD, de sa circonférence. — En » effet, etc. »

l6 INTRODUCTION ;

Fig. I». corde , tandis qu’une même corde AB appartient toujours à deux arcs distincts, ACB, ADB (fig. 10), de la même circonférence [et peut même sous-tendre ime infinité d’arcs , décrits

Fig. h. de centres et de rayons différons (fig. 1 1)].

Quand la corde passe parle centre , elle devient un diamètre ; et les deux arcs sous- tendus sont des demi— circonférences ( n° 1 8).

D’après la propriété dont jouissent tous les diamètres , de partager le cercle en deux moitiés superposables (n° 18),

Fig. iô. existe nécessairement, sur tout arc ACB (fig. 10), un point C tel que , si l’on tire le diamètre COD et qu’on appliqua la demi-circonférence CBD sur la demi-circonférence CAD, le point B doive tomber en A : les deux arcs AC, BC, sont alors égaux entre eux (n° 3) ; et le point C se nomme le milieu de l’arc ACB. — Par une raison semblable , les deua arcs AD , BD , étant égaux entre eux , le point D est le miliep de l’arc ADB. — Et de même, le point 1 où le diamètre COD rencontre la corde AB, est le milieu de la corde AB (n° 8).

Chacune des portions IC , 1D , du diamètre CD , comprises respectivement entre les milieux C et D des deux arcs ACB et ADB, et le milieu I de leur corde commune AB, se nomme la Jlèche de l’arc correspondant.

N° 20. Le diamètre est la plus grande corde du cercle.

Fig. la. Soit, par exemple, une corde quelconque AB ( fig. 12) qui ne passe pas par le centre 0 : je dis qu’elle est moindre que le diamètre AOC.

En effet , menons le rayon OB : nous aurons ( n° 5 )

AB < AO + OB, ou (n° 17) AB < AO + OC,

ou bien enfin AB < AC ,

comme nous l’avons énoncé.

Remarquons en outre, que, d’après la propriété caractéristique de la ligne droite (n° 5) ,

{.;„ ,3. La somme des cordes de deux arcs , AC, BC (fig. 1 3) , est plus grande que la corde , AB, de la somme, ACB, de ces arcs.

— - DU CEItCLK.

D’où il résulte que

Le double de la corde d’un arc , AC ou BC ( fig. to) , est plus Fig. to. grand que la corde, AB , d’un arc, ACB , double du premier.

N° ai. Lorsqu’une corde est prolongée indéfiniment dans les deux sens , elle prend le nom de Sécante.

Soit AB (fig. i4) une sécante au cercle, coupant la circon- Fig- >4férence aux deux points A , H ; et supposons que l’on fasse tourner cette droite autour du point A, dans le plan du cercle, de manière que le second point d'intersection B se trouve successivement en B', B", B".... Ce second point d’intersection se rapprochant de plus en plus du premier, finira par se confondre avec lui : et alors la droite aura la position ST. Après avoir atteint cette position limite, si la droite continue à • tourner de la même manière, le point d’intersection mobile passera au-delà du point fixe A et prendra les positions successives b , b' , b"... etc., en s’éloignant d’abord du point A pour repasser ensuite par ses positions antérieures.

Cela posé, on nomme Tangente au cercle une sécante ST dont deux points d intersection avec le cercle sont réunis en un seul ; c’est pourquoi on la définit ordinairement en disant que c’est une droite qui n'a qu'un point commun avec le cercle. Cette propriété pouvant en effet servir à caractériser la tangente au cercle , nous l’adopterons pour le moment -comme définition , sauf à revenir par la suite sur cet objet.

Lorsqu’une droite ST louche ainsi le cercle , ou est tangente au cercle, eu un point A , alors , par réciprocité , le cercle est dit tangent à la droite ; et le point A se nomme le point de tangence ou de contact.

On dit encore que deux cercles, AC, BC (fig. i5), sont Fig. i5. sécans, lorsque leurs circonférences ont deux points communs, ou se coupent en deux points, C, C'.

Et de même , deux cercles sont dits tangens l’un h l’autre, lorsque leurs circonférences ont un seul point commun : tels sont les cercles AM , BM , CM ( fig 16) , lesquels , pris deux à Fig. 16. deux, se touchent au point M.

Fig. io. N® 22. On nomme Segment de cercle, une portion de cercle comprise entre un arc, ACB ou ADB (fig. io), et sa corde AB. — La corde est la base du segment. — La même base, AB, appartient toujours à deux segtiiens dont l’ensemble forme un cercle entier {voyez le n° 20) ; et lorsque la base est un diamètre , les deux segmens correspondans sont des demi-cercles.

Enfin, l’on nomme Secteur , une portion de cercle comprise entre un arc , ACB ou ADB , et les deux rayons, OA , OB , qui aboutissent à ses extrémités. — Ces rayons sont les côtés du secteur ; et l’arc en est la base.

Cette base peut être moindre qu’une demi-circonférence , comme dans le secteur OACB; elle peut être plus grande, comme dans le secteur OADB ; enfin elle peut être égale à la demi-circonférence elle-même , ce qui arrivera si les deux rayons que nous avons nommés les côtés du secteur,* sont les deux moitiés d’un même diamètre ; et alors le secteur sera lui-même un demi-cercle : tels sont les secteurs OCADetOCBD.

De la Règle, du Compas , etc.

N® 23. Pour tracer ou pour décrire une droite [ou plutôt un segment (n° 5) de droite], on se sert d’un instrument que l’on nomme une Régie, et qui n’est autre chose qu’une Fig. 17- barre, AB (fig. 17), de bois ou de métal, dont les bords saillans sont supposés rectilignes.

Quand on veut exécuter le tracé de la droite , on place la règle dans une position fixe, de manière que l’un de ses bordspasse par deux points donnés, A, B, que la droite doit contenir,- et l’on fait glisser le long de ce bord, un crayon , une plume, etc. (n° 4)- — C’est là ce qu’on appelle

Mener une droite par deux points donnés , A , B.

{Voyez , à la fin du volume , la Note A , à Y article de la Règle et du Compas. )

N° a]- Souvent, eu lieu de règle, on emploie un c oriteau tendu, surtout lorsque la ligne h tracer doit avoir une certaine longueur ; mais il faut observer que ec moyen n'est exact que dans quelques cas particuliers , par

— DE LA RÈGLE , DU COMPAS, ETC* ig

exemple qaand la surface sur laquelle on opère est plane et horizontale , ou bien encore, qnand la droite à tracer doit être verticale; sans quoi le poids du cordeau lui fait prendre une courbure (n° 6) que Ton ne saurait détruire complètement! quelque effort que l'on fasse pour le tendre.

N®a5. Enfin quelquefois, opérant sur une grande étendue de terrain , et n'ayant pas h tracer effectivement nnc droite, on n'a besoin que de connaître des points de celte surface, snppose'c plane, qui soient situés dans une même direction (n* 8) ou sur un même alignement. Dans ce cas, on se sert de piquets longs et minces nommés jalons , A , B , C , D . . . (lïg. 18), Fig. ï8. que l’on plante verticalement de distance en distance : les pieds de ces jalons seront tous sur une même ligne droite MN, si, en dirigeant un rayon visuel dans le plan de deux jalons quelconques, A, D, on reconnaît que ce plan ton- ' tient tous les autres jalons, ou si, suivant l'expression usitée, tout rayon visuel qui a fleure deux jalons quelconques , affleure en même temps too* les autres.

N° 26. L’instrument dont on se sert ordinairement pour décrire une circonférence ou' un arc de cercle , se nomme un Compas. Il se compose de deux branches , AC, BC (fig. 19), Fig. «9généralement égales, terminées en pointe à l'une de leurs extrémités, A, B, et réunies à l’autre extrémité C que l’on appelle la tête du compas, par une articulation qui permet aux branches de s’ouvrir, ou de s’écarter plus ou moins l’une de l'a utre . L’une des poiutes, A, sert à marquer le centre [ou du moins, est destinée â s’y placer], tandis que l'autre, B, doit être armée convenablement (n° 4) pour pouvoir tracer une ligne.

Lorsqu’on veut , au moyen du compas , décrire sur un plan, une circonférence dont le centre soit situé en un point donné , A , du plan , et dont le rayon ait une longueur déterminée , AB, on commence par disposer l’instrument de manière que son ouverture, c’est-à-dire la distance rectiligne de ses deux pointes , soit égale à la longueur donnée ; ensuite , on fixe la pointe A au poiut donné, et l'on fait glisser la pointe B sur le plan donné : cette dernière pointe, en tournant autour du point A, trace la circonférence demandée. C’est ce qu’on appelle :■ ... • ;• ; ■

Décrire une circonférence d’un point donné , À r comme centra , et d’un rayon égal à une droite donnée , AB.

( Voyez la Note A.)

K® 27. Le moyen que non» venon» d’imllquer pour décrire In circonférence, n'e*t pralicnblr qne lorsque le cercle doit être de petite dimemion. Dan» le cm contraire [ pourvu toutefois que le plan snr lequel on opère soit Fig.ao. horizontal], on prend 00 cordeau (n” s4)> d’une longueur AB (fig aoj égale an rayon; on attache un piquet ( n° a5 ) il chacune de »e» extrémités; on fixe l’un de ces piquet» au poinl'A que l’on a pris pour centre; enfin, avec le second piquet B, on trace dans le plan donné une ligne qui [en supposant le eordean lonjonr» tendu ] est la circonférence demandée.

On pent aussi , snr un plan quelconque, employer, h Iti plnccdu eordean, une règle suffisamment longue.

N° 28. La ligne droite et le cercle, ainsi que certaines surfaces dont ces lignes représentent les intersections ou qui en dérivent , étant les seuls objets que l’on considère dans cette partie des Mathématiques [ ou de la Science des Grandeurs en général ] , à laquelle on est convenu de donner le nom de Géométrie Élémentaire, la règle et le compas , sont, par suite, les seuls instrumens dont l’usage appartienne essentiellement aux Élémens de Géométrie.

A la vérité, l’on fait aouvent mage, dans la Géométrie pratique, de plusieurs autres instrumens, tels qnc ceux dont if vient d’étre question ; mais leur emploi n’a pour but que d’abre'ger ou de simplifier des operations graphiques susceptibles , à la rigueur, dVtrc exécutées avec la règle et le compas seulement. Nous donnerons h la fin de l’ouvrage [dans la Note A] , la description et la tlicorie de quelques-uns des principaux , et nous indiquions la manière de s’en servir.

Des diverses espèces de Propositions et de Questions (*).

N° 29. 11 y a plusieurs sortes de Propositions et de Ques-

tions que l’on distingue les unes des autres par autant de termes différens qu’il faut d’abord expliquer. — Ces sortes d’explications se nomment des définitions : ainsi, par exemple, nous venons de définir le mot Définition.

Autres exemples : — En expliquant (n° 2) ce que l’on entend par le mot Géométrie , nous avons donné la définition da

(*) On Prnt» san* inconvénient , passer tout de suite au numéro 60, sauf à revenir sur les définitions , sur les méthodes , etc.* lorsqu’on y sera conduit par des renvois, ou lorsque le besoin d’cclaircisscmens sc fera sentir.