PROPOSITIONS

la Géométrie; de même, en expliquant ce que c’est que la ligne droite (n° 5) , le plan (n° g) , le cercle (n° 16) , etc. , nous avons défini la ligne droite , le plan, le cercle, etc.

En general, on ne •aurait attacher une trop grande importance aux déGnitions : des définitions claires et précises sont le préambnle nécessaire, le cornmèneraient obligé de tonte théorie exacte , de tout raisonnement rigoureux.

N° 3o. L’Axiome est une proposition évidente par ellemême , et dont le simple énoncé suffit pour en faire immédiatement reconnaître la vérité. — Telles sont les suivantes : i 0 Un tout est plus grand que chacune de ses parties prise séparément ;

2° Deux quantités respectivement égales à une troisième sont égales entre elles ;

3° Deux quantités égales , augmentées ou diminuées à la fois d’une même quantité , donnent des résultats égaux y 4° Si deux quantités sont respectivement moindres [ ou plus grandes ] que deux autres , la somme des premières est moindre [ou plus grande] que celle des dernières.

Etc. , etc. , etc.

N»3t. La Demande [en latin : postulatum ] e«t une proposition du même genre que l'axiome, n’ayant peut-être pas immédiatement le même degré d’évidence, mais assez claire cependant pour qne notre esprit n’éprouve aucune répugnance li l’admettre sana discussion. — l'elles sont les propositions suivantes , dont, avec un peu d’attention , on sentira tout de suite la vérité : 1° Entre deux points déterminés il n'existe qu'un seul plus court chemin , — on autrement : Entre deux points on ne peut mener qu'une seule ligne droite ( n® 5); — [proposition qui toutefois ne doit pas tire confondue avec celle du numéro y: — Deux droites qui ont deux points communs coïncident dans toute leur étendue ; ]

a o U y a des surfaces sur lesquelles on peut , en chacun de leurs points , appliquer une ligne droite dans une infinité de positions ; — [ce sont les surfaces qne nous avons nommées planes (n”g). ]

An reste , U vérité des propositions que l’on nomme demandes , est sou vent susceptible d’étre prouvée rigoureusement. C’est ce qui est arrivé , par exemple, pour les propositions des numéros y cl n , que nous aurions pu, h l’exemple de plusieurs auteurs, présenter simplement sons forme de demandes Dans tous les cas semblables, si l’on préféré assimiler les demandes

a nx axiomes, c’est que le faible avantage qui pourrait naître d’un peuplas de rigueur dans la manière d'établir ces propositions, ne suffirait pas pour

compenser la longue nr ou les embarras de la ronce qn’il faudrait anivre pour en développer complètement les preuves.

Ainsi , la demanda forme une sorte de transition entre l’axiome et le théorème, antre sorte de proposition dont nous parlerons tout i l’heure.

N° 32. Le Lemme est une proposition préliminaire peu digne d’attention par elle-même, et dont l’objet principal est de servir de préparation ou de base aux propositions ou aux questions qui doivent suivre.

Ce qui caractérise encore le lemme, c’est que , le plus ordinairement, il est emprunté S une antre science, ou h nnc autre partie de la science, que celle dont il forme l'introduction ; ou du moins il n’a pas toujours avec elle tin rapport bien direct.

N° 33- Le Théorème est une proposition qui n’est pas évidente par elle-même , mais dont on prouve la vérité, au moyen d'un raisonnement appelé Démonstration, en s'appuyant sur d’autres vérités déjà reconnues. — Telle est la proposition du numéro 18.

Dans l’énoncé d’un théorème [et généralement d’une proposition quelconque ] , on peut ordinairement distinguer deux parties, dont la première, nommée Hypothèse, est une supposition faite sur un certaiu Sujet considéré comme principal , et dont l’autre , nommée Conclusion , est la conséquence de cette supposition.

Exemple : — Un cercle étant tracé dans un plan [sujet], — si un point de ce plan est à une distance du centre, égale au rayon [ hypothèse ] , — ce point est (u° 1 7) sur la circonférence [conclusion].

N° 34. La Réciproque d’une proposition est une autre proposition établie en sens inverse de la première, de telle sorte que , le sujet principal restant le même , la conclusion primitive prend la place de l’hypothèse , et vice versd.

Exemples : — i° 'Tout diamètre [d’un cercle] divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales (n° 18) ; — on bien : Toute corde [sujet] qui passe par le centre [ hypothèse ] , divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales [conclusion ].