LIV. lu ; clUP. II ; J I

N* 427. Théorème II. Fig. 3i3*

Fig. 3i 3. Lorsqu’une droite AB est parallèle à un plan MN , tout

autre plan AD mené suivant la droite , et non parallèle au premier, coupe celui-ci suivant une seconde droite CD parallèle à la première.

En effet, les droites AB et CD sont dans un même plan; et de plus, elles 11e peuvent se rencontrer, puisque la droite AB est parallèle au plan MN qui contient la droite CD tout entière : donc, etc. (n° 71).

Scolie. — On peut encore énoncer ce théorème de la manière suivante :

Lorsque deux plans , AD, MN , se coupent , toute droite AB menée dans l'un des deux parallèlement à Vautre , est parallèle à l’intersection commune CD.

Ce théorème est réciproque de la proposition du numéro 3g3.

Fig. 3^8 Corollaire.-— Les intersections des plans quelconques menés par deux droites parallèles, AB, CD (fig. 348), sont toutes parallèles à ces droites.

Soit EF l’intersection de deux pareils plans : AB étant parallèle à la droite CD, sera parallèle au plan CF (n° 3g3), et par suite à la droite EF (n° 4a7)-

On prouverait de même que CD est parallèle à EF.

N* 42S. Théorème III. Fig. 349-

Fig.349, Lorsque deux plans , MN, PQ, sont parallèles , toute droite AB parallèle à l'un d'eux, PQ, et passant par un point A pris sur Vautre MN , est contenue tout entière dans ce dernier.

En effet , supposons que la droite AB ne soit pas contenue dans le plan MN. Par cette droite et par un point quelconque C pris sur le plan PQ , menons un troisième plan : il coupera le plan MN suivant une droite AB', et le plan PQ sui-

— PARALLÉLISME ; CONBIT. 333

vant une droite CD parallèle à la première AB' (n° 3g4) ; mais déjà CD est parallèle à AB (n“ 427) ; donc les droites AB et A B' seraient à la fois parallèles à CD ; — Ce qui est absurde

Scolie 1". — Le plan MN est le lieu des droites parallèles au plan PQ , menées par le point A.

Scol. 2. — Ce tlie'orème forme la réciproque de la proposition du numéro 3g3. Il y a une autre réciproque qui est fausse et que voici : Si la droite AB est parallèle au plan PQ, et que AB soit dans le plan MN, MN est parallèle à PQ. On voit que cette réciproque est contradictoire avec lo principe établi au numéro 427-

Corollaire. — Du théorème précédent il est facile de tirer cette conséquence, que

Les plans parallèles ont toutes leurs droites parallèles communes ;

Et que par conséquent ,

Lorsque deux plans sont parallèles , toute droite qui perce l'un des deux perce aussi l’autre.

N“ 429* Théorème IV. Fig. 35o.

Lorsque deux droites, AB, CD, sont parallèles, tout plan Fig 35o MN parallèle à Lune d’elles AB et passant par un point C pris sur Loutre CD, contient celle-ci tout entière.

En effet, si la droite CD n’était pas tout entière dans le plan MN, celui-ci couperait le plan des deux parallèles suivant une droite CD' parallèle à AB (n° 4*7) ; et par un même point C on pourrait mener deux parallèles à la droite AB ; —

Ce qui est absurde (n° 3ga).

Corollaire. — Il est facile de conclure de là , que

Les droites parallèles ont tous leurs plans parallèles communs ;

Et que par conséquent

lorsque deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe Lune des deux coupe aussi l'autre.

PARALLÉLISME; COSDIT.

N* 43o. Théorème V. Fig. 35i.

ï"ig.35i. Toute droite AB parallèle à la fois à deux plans qui se coupent, MN , PQ, est parallèle à leur intersection.

En effet, si par un point M de l’intersection commune on mène une parallèle à la droite AB, elle sera contenue à la fois dans les deux plans (n° 429) ; donc elle se confondra avec cette intersection : donc, etc.

K° 43 1. Théorème VI. Fig. 35a.

Fig.35i. Lorsque deux droites concourantes , AB , CD, sont respectivement parallèles à un plan MN, celui-ci est parallèle au plan des deux droites.

En effet , le plan MN 11e saurait rencontrer le plan des deux droites AB, CD, que suivant une troisième droite parallèle à la fois à chacune des deux premières (n°427) ; — Ce qui est impossible (n° 392).

Corollaire.— Lorsque deux droites qui se coupent , AB, CD

Fig.3i4. (fig. 3i4), sont respectivement parallèles à deux autres droites qui se coupent, A’B', C'D', le plan des deux premières est parallèle à celui des deux dernières.

En effet , les droites AB , CD, par exemple , étant parallèles au plan des deux autres droites A'B', C'D' (n° 3g3) , ce plan est, d’après le théorème précédent, parallèle à celui des droites AB , CD. — {Voyez le n° 394, et, ci-après, len® 43g , scol. Ier.)

UV. lit ; CHAP. I! ; $ H.

§ IL — Propriétés des Droites et des Plans Parallèles.

N° 4^2. Théorème VIL Fig. 353.

Deux plans parallèles , MN , PQ, ont leurs droites perpen- Fig. 353. diculaires communes.

Soit la droite AC perpendiculaire en A au plan MN : elle sera aussi perpendiculaire au plan PQ. En effet, d’abord elle rencontrera PQ (n® 4a8 , corail.) : soit C le point de rencontre.

Par la droite AC menons un plan quelconque ; soient AB et CD ses intersections respectives avec les plans parallèles : les droites AB et CD seront aussi parallèles (n° 3g4). Or AB est perpendiculaire à AC; donc CD est aussi perpendiculaire à AC (n i4o). Mais le plan ABCD étant quelconque, la droite CD est aussi quelconque ; donc AC est perpendiculaire à une droite quelconque menée par son pied dans le plan PQ : donc AC est perpendiculaire au plan PQ (n° 41 1).

Corollaire. — Deux plans parallèles ont leurs plans perpendiculaires communs (voyez le n° 424).

N° 433. Théorème VIII. Fig. 3 54.

Deux droites parallèles , AB, CD , ont leurs plans perpen — Fig. 354. diculaires communs.

Soit le plan MN perpendiculaire à la droite AB au point B; je dis que CD est perpendiculaire au plan MN.

D’abord le plan MN rencontrera la droite CD (n® 42g, coroll.) : soit D le point où la droite CD perce le plan MN.

Cela posé , si CD n’est pas perpendiculaire à MN , élevons par le point D, sur ce plan ,1a perpendiculaire DC' : les droites BA et DC* seront parallèles (n® 4s3) ; d’où il résulterait que par le point D on pourrait mener deux parallèles à la droite AB ;

— Ce qui est absurde (n® 3g2).

336 II». Ul ; CDAP. il ; 5 U. —

Fig.355. Corou.aibd i". — Deux droites , AB , CD (fig. 355), respectivement parallèles à une troisième EF [dans l’espace] , sont parallèles entre èlles.

En effet, si l’on menait un plan MN perpendiculaire à EF, il serait perpendiculaire à AB et à CD : donc AB et CD sont parallèles (n° 423).

JV. II. — Le raisonnement du numéro i36 ( coroll . t*r) ne suffirait pas pour démontrer le corollaire précédent, parla raison que les droites AB, CD, pourraient ne pas se rencontrer, sans cependant être parallèles (n# 3g6; ou 4*8, scol.).

Coroll. a. — Les intersections de deux plans parallèles entre eux, par deux autres plans parallèles entre eux , sont toutes , deux à deux , parallèles entre elles (voyez le n° 3q4)-

Coroll. 3. — Deux plans respectivement perpendiculaires à un troisième , et passant par deux droites parallèles entre elles et non perpendiculaires à ce dernier, sont parallèles entre eux:

En effet, ces deux plans ne pourraient se rencontrer que suivant une droite qui devrait être à la fois perpendiculaire au plan donné (n° 4 *5), et parallèle aux droites données (n° 427> coroll.) : d’où il résulterait que celles-ci seraient perpendiculaires au plan donné ; — Ce qui est contraire à l’hypothèse.

Scolie i *T. — Lorsque deux plans sont respectivement perpendiculaires à un troisième , ou ils sont parallèles , ou ils se coupent suivant une perpendiculaire à ce troisième plan (n° 4a5).

Scol. a. — Le théorème précédent est réciproque de celui du numéro 4*3 .

ÎS'° 434* . Théorème IX(*). Fig. 3i5.

Fîg.3i3. Deux droites concourantes , AB, AC, sont perpendiculaires entre elles , lorsque l’une, AC, est perpendiculaire , et l'autre, AB, parallèle à un même plan MN.

(•) Quoique ce théorème ainsi que le suivant (n°*43j et 435), ne soient pas écrits en petit caractère , on pourra , sans beaucoup d’inconvénient , les ton si-

derer comme tels.

— PARALLÉLISME; PROPK. 337

En effet, le plan des deux droites coupe le plan MN suivant Fig.3i3. «ne droite CD parallèle à AB (n® 427) perpendiculaire à AC (n° 4* I) : donc (n° >4°) ^es dro*tes AB et AC sont perpendiculaires entre elles.

Réciproquement : — Lorsque deux droites concourantes AB,

AC, sont perpendiculaires entre elles , tout plan MN perpendiculaire à l'une , AC, est parallèle à l’autre AB.

En effet, le plan des deux droites coupera le plan MN suivant une droite CD perpendiculaire à AC (n® 4*0; donc ( n® 71 ) AB et CD seront parallèles : donc, etc.

Scolie i*r. — Il y a une seconde réciproque que voici : si les deux droites AB et AC sout perpendiculaires entre elles, et que le plan MN soit parallèle à AB, il sera perpendiculaire à AC; mais cette réciproque est évidemment fausse: car le plan des deux droites peut prendre toutes les positions possibles autour de AB sans que les dejix hypothèses cessent d’avoir lieu; et si, dans ce mouvement, AC restait continuellement perpendiculaire au plan MN, il en résulterait que du point A on pourrait abaisser une infinité de perpendiculaires sur ce plan ; — Ce qui est absurde (n° 4 >8, 2®).

Scol. 2. — Toutes les perpendiculaires au plan MN, menées par les divers points de AB , sont perpendiculaires à la droite AB. — Mais la réciproque est fausse.

N® 435. Théorème X. Fig. 556.

Deux plans, MN, PQ, sont perpendiculaires entre eux, Fig. 356; lorsque, l'un, MN , est perpendiculaire , et l’autre , PQ, parallèle à une même droite A B.

D’abord, le plau MN rencontrera le plan PQ, sans quoi il lui serait parallèle et contiendrait la droite AB (11° : soit

donc NO l’intersection des deux plans. Du point C où la droite AB perce le plan MN , abaissons la perpendiculaire CD sur NO, et menons le plan ABD qui rencontrera le plan PQ snivant une droite EF : cette droite EF étant parallèle à AB (n® 427),