LIV. III ; CHAP. II J S II

sera aussi perpendiculaire à CD (n° 44°)' Ainsi, CD étant perpendiculaire au plan PQ, les deux plans MM , PQ , seront perpendiculaires entre eux (n° 4a4)'

Réciproquement : — Lorsque deux plans , MN , PQ , sont perpendiculaires entre eux, toute droite AB perpendiculaire à Vun MN est parallèle à l’autre [à moins d etre tout entière dans ce dernier].

Cette réciproque résulte du numéro ^i'\ ( récipr . , a°).

Scolie. — Il y a une autre réciproque qui est la suivante : si les plans MN, PQ, sont perpendiculaires entre eux , et que la droite AB soit parallèle au plan PQ , elle sera perpendiculaire au plau MN. Cette réciproque est évidemment fausse .car la droite AB peut prendre une infinité de positions différentes autour du point C, dans un plan parallèle à PQ, sans que les deux hypothèses cessent d’avoir lieu; et si dans ce mouvement, la droite AB restait continuellement perpendiculaire au plan MN , il en résulterait que par un même point C, on pourrait élever une infinité de perpendiculaires à ce plan ; — Ce qui est absurde (n° 4*7» 2°)-

N° 436. Théorème XL. Fig. 357.

Fig. 357. /.er portions de deux droites parallèles , AB, CD, com-

prises entre un plan PQ et une droite MN parallèles , sont égales.

En effet , le plan des deux parallèles coupe le plan PQ suivant une droite BD parallèle à AC (n° 427)> donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (n° ig4) : donc , etc. (n“ 196}.

Corollaire. — La droite la plus courte que l'on puisse mener entre une droite et un plan parallèles, est leur perpendiculaire commune (nu* 4*9 el 4^4) : cette perpendiculaire mesure donc la distance de la droite au plan; or, le théorème ayant encore lieu dans le cas où les parallèles sont perpendiculaires au plan et à la droite, il s’ensuit que les perpendiculaires communes

— parallélisme ; phopr. 33c|

à une droite et à un plan parallèles, sont toutes égales entre elles ; d’où il résulte que

Un plan et une droite parallèles sont partout également distans.

Réciproquement : — Si un plan et une droite sont partout également disions , ils sont parallèles ;

Et comme deux points déterminent une droite f

Une droite est parallèle à un plan lorsqu’elle a deux de ses points également distans du plan.

Mais si l’on supposait que c’est le plan qui a deux ou même trois de ses points également distans de la droite , la droite et le plan pourraient n’èlre pas parallèles , parce que généralement, les distances dont il est question ne sont pas parallèles entre elles. „

N° 437. • Théorème XII. Fig. 358.

Les portions de deux droites parallèles, AB, CD, comprises Fig. 358. entre deux plans parallèles , MN , PQ, sont égales.

En effet, le plan des deux parallèles coupe les deux plans MN, PQ , suivant deux autres droites, AC, BD, aussi parallèles eutre elles (n° 394) ; donc ACBD est un parallélogramme (n* 194) : donc, etc. (n° 196). ,

Corollaire- — La droite la plus courte que l’on puisse mener entre deux plans parallèles, est leur perpendiculaire commune (n°* 4*9 rt 43a) : cette perpendiculaire mesure donc la distance des deux plans ; or, le théorème ayant encore lieu dans le cas où les droites sont perpendiculaires aux plans, il s’ensuit que les perpendiculaires communes à deux plans parallèles sont toutes égales entre elles; d’où il résulte que

Deux plans parallèles sont partout également distans .

Réciproquement : — Si deux plans sont partout également dis tans, ils sont parallèles ;

Et comme trois points [non situés en ligne droite] déterminent un plan, il s’ensuit que

34 O UV. III ^ CHAI1. Il; § lit. —

Deux plans sont parallèles lorsque trois points de tun , non situes en ligne droite, sont également distans [et d’un même côté ] de V autre.

Scolie. — Tous les points qui sont également distans et du même côté d’un plan , se trouvent sur un même plan parallèle au premier {voyez le n° 1 4 * , scol.).

§ III. — Conséquences des propriétés précédentes . — Plus courte Distance de deux Droites.

N® 438. Théorème XIII. Fig. 55g.

Fig. 359. Les portions de deux droites quelconques, AB, CD, inter-

ceptées entre trois plans parallèles , MN, PQ, RS, sont en proportion.

Lorsque les droites AB, CD, sont dans un même plan, la proposition est évidente, soit d’après les numéros 3q4 et 2S9 si elles se coupent, soit d’après les numéros 3g4 et 43^ si elles sont parallèles.

Supposons donc que les droites AB, CD, ne soient pas dans un même plan; et, dans cette hypothèse, soient A, B, E, les points où la première droite perce les plans extrêmes MN , PQ, et le plan intermédiaire RS ; puis C, D, F, les points où la seconde droite perce les mêmes plans. Menons la droite AD, et soit 0 le point d’intersection de cette dernière avec le plan RS ; nous aurons (n°* 3 94 et 260) :

ae : eb :: ao : od :: cf : fd,

ou simplement AE : EB ” CF : FD ; C.Q.F.D.

Scolie. — La réciproque est fausse : c’est-à-dire que trois plans qui couperaient les deux droites en parties proportionnelles, ne seraient pas pour cela parallèles : parce que la position des six points A , E, B , C, F , D, ne suffit pas pour déterminer celle des trois plans MN , RS , PQ ; et que d’ailleurs, on peut faire tourner les plans MN , PQ, autour de AC , BD.

•VW.T7

— PARALLÉLISME; C0NSÉQ. 3^|

Mais on peut affirmer que si la proportion a lieu , il existe Fig.35g. toujours un système de trois plans parallèles qui passent par ces six points. En effet, le point 0 de la droite AD est déterminé par la première des proportions ci-dessus ; et à son tour, conjointement avec les points E , F , il détermine le plan RS , et par suite les plans parallèles MN , PQ.

N* 43g. Théorème XIV. Fig. 36o.

Lorsque deux angles, BAC, B'A'C' [non situés dans le Eig.3Co. meme plan], ont les côtés parallèles chacun à chacun , ils sont égaux ou supplémentaires:

Il peut se présenter plusieurs cas, les mêmes que si les angles étaient dans le même plan (n° 1 44)*

En supposant d’abord les côtés AB et A'ff , AC et A'C , dirigés chacun à chacun dans le même sens , prenons AB=A'B',

AC = AC', et menons AA', BB', CC' : les deux quadrilatères AB', AC', seront des parallélogrammes (n° 198); donc les droites BB' et CC' sont égales et parallèles entre elles, comme étant respectivement égales et parallèles à AA' (110 433 , <0roll. t*r). Maintenant, menons BC et B'C' : le quadrilatère BC' sera aussi un parallélogramme ; donc les droites BC et B'^ sont égales et parallèles. Donc les deux triangles BAC et B'A'C' sont égaux (n° 169) : donc les angles BAC et B'A'C' sont aussi égaux.

Pour les autres cas, la démonstration s’achève comme dans le numéro 1 44-

Scolie 1". — Il résulte en outre du numéro 43 1 (corail.), que les plans BAC , B'A'C', Sont parallèles. — Et l’on voit d’ailleurs par le raisonnement précédent, que la droite BC tracée arbitrairement dans le premier plan , ne peut rencontrer le second ; et vice versA : — donc , etc.

Scol. 2. — Si trois droites sont égales et parallèles , les droites qui joignent leurs extrémités correspondantes Jorment tles triangles égaux et parallèles : [c’est-à-dire dont les côtés sont, chacun à chacun , égaux et parallèles.]

34a lit. n; cjup. ii; $ m. —

• Plus généralement: — Si, des sommets d'un polygone, on mène [dans l'espace] des droites égales et parallèles [et dirigées dans le même sens] , leurs extrémités opposées seront ' les sommets d'un polygone égal et parallèle au premier.

La proposition es* également vraie, soit lorsque toute la ligure est contenue dans un même plan , soit lorsque le polygone est gauche (n° i4), efc. , etc.

Pt* 44°* Théorème XV. Fig. 36i.

,36i. Deux droites quelconques, AB, EF, sont toujours situées, ou dans un même plan , ou dans des plans parallèles.

En effet, si les deux droites AB, EF, ne sont pas dans un même plan, par nn point A pris sur la première, menons AC parallèle à EF, et par un point E pris sur la seconde, menons EG parallèle à AB : les deux angles BAC et GEF seront situés dans des plans parallèles (n* 4^1, coroll.; ou 439» sc°l- *") ;

Scolie î". — Ce système de deux plans parallèles, contenant respectivement chacune des deux droites AB, EF, uou situées dans un même plan , est unique.

Car tout plan passant par la droite AB par exemple, et faisant partie d’un pareil système de plans parallèles, doit contenir toutes les droites parallèles à EF qui rencontrent AB ; et par conséquent ce plan ne saurait différer du plan ABC. — Même raisonnement pour le second plan.

Pour désigner les plans ABC, EFG, nous les nominerons les plans parallèles des deux droites AB , EF.

Deux droites non situées dans un même plan ne peuvent évidemment offrir de distance plus courte que celle de leurs plans parallèles.

Scol. 2. — Lorsque deux droites ne sont pas dans nn même plan, on peut toujours, par chacune d’elles , faire passer un plan parallèle à l’autre (n° 4a6) ; et ce plan est unique.