UT. III ; CHAP. III ; 5 II

Fig 368 perpendiculaires aux faces bsc , csa , as b , de l’angle trièdre s ; d’où il suit que l'angle trièdre S est par rapport à l’angle trièdre s, dans la même situation que celui-ci par rapport au premier.

Or, il résulte encore du théorème (n° 449) déjà cité, que les angles bAc , clia , aCb , qui correspondent respectivement aux angles dièdres SA, SB, SC, de l’angle trièdre S, sont supplémentaires, chacun à chacun, des angles bsc, csa, asb, qui ne sont autre chose que les faces de l’angle trièdre s ; et que réciproquement les angles BoC , CbA , AcB , qui correspondent aux angles dièdres sa, sb , sc , de l’angle trièdre s, sont les supplémens respectifs des faces BSC, CSA, ASB, de l’angle trièdre S ; C. Q. F. D.

Scolie. — En raison de la propriété qui viènt d’ètre démontrée , les deux Angles Tbièdres S et s sont dits Supplémentaires.

Chacun des deux angles trièdres peut d’ailleurs être remplacé par son symétrique (vojez le n° 45a ) : car dans la définition précédente , c’est uniquement à la valeur des angles plans ou dièdres qu’il faut avoir égard , et nullement à leur situation relative.

Ainsi , au lieu de prendre le sommet « dans l’intérieur de l’angle trièdre S , nous eussions pu le prendre sur une de ses arêtes, ou au point S lui-même : mais alors, les trois perpendiculaires, indéfiniment prolongées, déterminant huit angles trièdres (n° 45 1 ) , il eût été difficile de reconnaître parmi eux les deux supplémentaires [symétriques l’un de l’autre] de l’angle trièdre proposé.

N° 454- Théorème V. Fig. 56ÿ.

Fig. 369. Dans tout angle trièdre S , une face quelconque est — 1 0 plus petite que la somme des deux autres , — et — 2? plus grande que leur différence. — ( Voyez le n° 80.)

ANGLES TRIÈDRES. 355

i® Il n’y » lieu à démontrer la première partie de ce théo F'B-3®9* rèuie , que pour la plus graude des trois faces. Ainsi , supposons que l'on ait séparément

. ASB > ASC et ASB>BSC; et démontrons que ASB < ASC -f- BSC.

Pour Cela, menons une droite AB d’un point quelconque A de l’arète SA à un point quelconque B de l’arète SB. Puis , par le point S et dans le plan ASB, menons une droite SC qui fasse un angle BSC' égal à l’angle BSC, et qui coupe AB eu un point C. Prenons sur l’arète SC une longueur SC égale à SC'.

Enfin, lirons AC et BC.

D’après cette construction , les triangles BSC et BSC' sont égaux (n® 170); donc BC = BC. Or, dans le triangle ABC,

on a AB ^ AC 4" CB , ou AC -f* CB ^ AC CB j

donc AC’ < ' AC ;

et par conséquent ( n® 171)

ASC < ASC.

Ajoutant respectivement de part et d’autre BSC et BSC', on obtient

ASC' -f- BSC'< ASC -f- BSC , ou ASB < ASC + RSC.

2° En supposant ASC > BSC , on aura ASB>ASC — BSC:

car c’est une conséquence de ce que

ASB + BSC > ASC.

Corollaire. — Si par le sommet S (fig. 370) d'un angle Fig.370. trié (Le quelconque SABC , on mène une droite SD dans V intérieur, et par cette droite deux plans aboutissant aux deux côtés, SA, SB, d'une même face ASB, la somme des deux angles plans, ASD, BSD, qui en résulteront , sera moindre que la somme des deux autres faces , ASC, BSC.