LIV. III; CHAI*. III; § II
Fig.370. ]7n effet, si l’on prolonge le plan ASD par exemple, jusqu'il
la rencontre de la face BSC suivant une droite SE , on aura , en opérant comme au numéro 80 ( coroll. ) :
i° dans l’angle trièdre SA.CE, . . .ASE < ASC -J- CSE, et 2“ dans l’angle trièdre SDEB , . . .DSB DSE 4- ESB ; d’où l’on tire [en ajoutant ces deux inégalités membre à membre ]
ASE + DSB < ASC + DSE + CSE + ESB , ou bien ASD -I- DSE 4* DSB ASC -4- DSE -J" CSB , ou enfin, en retranchant DSE des deux membres,
ASD 4- DSB < ASC 4. CSB ;
N" 455- Remarque sur /a mesure <le l'angle dièdre. — Ce théorème précédent conduit h une conséquence qui a «lcjit etc annoncée précédemment (n° 448) : c’est que l'angle plan formé par les perpendiculaires it l'arête d’un angle dièdre, élevées par un même point dans chacune de ses faces, ou, en un mot ,
L'angle plan correspondant à l'angle dièdre [n0 445), est le seul qui puisse lui servir de mesure.
Eu effet: — il laut d’abord que les côtés de l’angle plan soient également inclinés sur l’arète, puisqu’il doit devenir nul en même temps que l’angle dièdre; ainsi , pour que l’on ait constamment
Fig. 364. AOPD : AOPD' :: AOB : A OB' (Cg, 364),
il faut que les ongles AOP, BOP, B' OP, soient égaux.
En second lieu, puisque l’on a , entre les angles dièdres, la relation
AOPD = AOPD' -+• B'OPD,
il faut aussi qu’cuire les angles plans, on ait la relation
AOB = AOB' H- B OB ;
d’où il suit , d’après le théorème precedent, que les trois droites OA , OB', OB, doivent être dans un même plau.
Enfin , puisque ces droites sont dans un même plan, et qu’elles sont également inclinées sur la droite OP , celle-ci est perpendiculaire au plan des. dois premières (n° 4JÎ. *col.).
ANGLES TRIKDRES.
N° 456. Théorème VI. Fig. 371.
Dans tout angle tri'edre S, la somme des trois faces est moindre que 4 angles Droits.
Pour le prouver, menons un plan qui coupe les laces suivant AB, AC, BC; puis, d’un point quelconque O pris dans le triangle ABC, menons les droites AO, BO, CO. Nous aurons trois triangles ayant respectivement pour bases les droites AB, AC, BC, et le point S pour sommet commun; puis trois autres triangles ayant respectivement les mêmes bases, et leur sommet en O. Cela posé, l’angle CAB, formé de la somme des angles OAC et OAB, est moindre que la somme des angles SAC et SAB (n° 454); de même ABC < SBA + SBC, et BCA < SCB -f- SCA ; donc la somme des angles à la base des triangles qui ont leur sommet en O, est moindre que la somme des angles à la base des triangles qui ont leur sommet en S. Mais la somme des angles des'trois triangles de chaque système est la même (n° i63) ; donc la somme des angles en S est moindre que la somme des angles en O ; et puisque celle-ci vaut 4 droits , il s’ensuit que la première est moindre que 4 droits ; C. Q. F. D.
N® 457. Théorème Vil.
Dans tout angle tri'edre , la somme des angles dièdres est plus grande que 2 Droits est plus petite que 6.
En effet, la somme des angles dièdres de l’angle trièdre proposé, augmentée de la somme des faces de son angle trièdre supplémentaire, forme 6 droits ( n° 453). Or la seconde somme partielle est comprise entre zéro et 4 droits : donc la première est moindre que 6 droits et plus grande que 2 ;
Scolie. — La somme des angles dièdres d’un angle trièdre li’est pas constante comme celle des angles plans d’un triangle :
