LIT. II! ; CHAP. III ; J II

il s’ensuit qu’un angle Irièdre peut avoir deux et même trois angles dièdres droits. C’est d’ailleurs ce qu’il est facile de reconnaître directement, d’après ce que l’on a déjà vu (n°399).

Cela posé, un angle trièdne est dit rectangle , birectangle , ou trirectangle , suivant qu’il a. un, deux, ou trois angles dièdres droits.

N° 458* Remarque sur les angles trièdres. — On pourrait établir, sur l’angle trièdre , des propositions analogues à plusieurs des théorèmes démontrés pour le triangle dans le prer mier livre ( chap iv, § i, n°* 164 et suiv.); mais la théorie des angles trîèdres ne présente pas d’analogues pour tous ces théorèmes, parce que plusieurs d’entre eux dépendent de ce que la somme des angles d’un triangle est constante , ce qui, comme nous venons de le voir, n’est pas vrai pour les angles dièdres d’un angle trièdre.

Ainsi, par exemple, il est faux que deux angles trièdres aient toujours leurs trois angles dièdres égaux chacun à chacun lorsque deux angles dièdres de l’un sont égaux à deux angles dièdres du second (voyez le n° i63, coroll. 3) ; il est faux que la face opposée à un angle dièdre droit ou obtus soit toujours la plus grande (voyez le n° 164, s col. 3); etc. , etc.

Mais il n’en est pas de même des propositions suivantes, qui sont vraies , et dont nous recommandons aux élèves de rechercher les démonstrations, ce qui sera facile à ceux qui se seront bien pénétrés des théories qui précèdent :

Théorème i. — i° Lorsque deux faces d’un angle trièdre sont égales , les angles dièdres opposés sont égaux ;

a° Lorsque deux faces sont inégales , à la plus grande face est opposé le plus grand angle dièdre ;

Réciproquement .—etc. (voyez les n" 164 ; et 45o , scol. ■>.).

Du théorème précédent il résulte que

lin angle irièdre est régulier (n° 40 1 ) quand il a ses trois faces égales, on ses trois angles dièdres égaux.

ANC LU TMÉDKES. 35g

Qllüll t aux angles trièdres qui n’ont que deux faces égales entre elles, et les angles dièdres opposes , égaux entre eux , on peut , par analogie , les nommer angles trièdres isoèdres : — Nous nommerons encore base b face inégale nnx deux autres, angle dièdre culminant et arête culminante , l’angle dièdre opposé i la base, et son arête. — On observera que — Tout angle trièclre isoèdre est à lui-méme son symétrique.

T H Ko R. il. — Le plan mené suivant l’aréte culminante d'un angle trièdre isoèdre et suivant la bissectrice de sa base , est perpendiculaire a cette base (voyez le no 164 ; scol. itr);

Les deux angles trièdres rectangles partiels qui en résultent, sont symétriques entre eux, — La face qui leur est coramuuc est un plan de symétrie (n° 45o , scol'. i*r et a«).

Théo*, ni. — Dans tout angle trièdre, les plans perpendiculaires élevés suivant les bissectrices des faces , se coupent tous les trois suivant une même droite (voyez le n“ 16G).

Théo*. IV. — Dans tout angle trièdre, les plans qui partagent les angles dièdres en deux parties égales , se coupent tous les trois suivant une même droite (voyez le n« 167).

§ III. — Comparaison et Mesure des Angles Trièdres.

N* 4%- Lemme. Fig 372.

Si deux angles plans ASB, CSD, ayant même sommet S, se coupent suivant une droite SI dirigée dans leur intérieur, et qu’on lie leurs côtés par deux autres angles , ASC, DSB , de manière à former deux angles trièdres opposés par une arête SI , la somme des deux derniers angles plans est toujours moindre que celle des deux premiers.

En procédant comme dans le numéro 168, on a de même les inégalités

ASC < ASI + ISC et DSB < DSI + ISB.

Puis, ajoutant membre à membre et observant que ASI + ISB = ASB et DSI + ISC = DSC,

on obtient ASC -f DSB < ASB + DSC ; C. Q. F. D.

Fig. lys.

36o L1V. III; CI1AP. III; § III. —

N° 460. Théorème VIH. Fig. 3^5.

Fig. 375. Deux angles tri'edres , SABC, S'A'B'CT, sont égaux lorsqu'ils ont les faces égales chacune à chacune et semblablement disposées.

[ Pour suivre une méthode analogue h celle que nous avons employée dans le numéro 169 relativement aux triangles] appliquons la face A'S'B' sur son égale ASB, de manière que les arêtes correspondantes, SA, S'A', se confondent, ainsi que les arêtes SB, S'B'. Je dis qu’alors les arêtes SC, S'C', se confondront aussi , et que par suite les deux angles trièdres coïncideront.

En effet, si cela n’avait pas lieu, quelque face de l’un des deux angles trièdres , par exemple la face A'S'C', pénétrerait dans l’intérieur du second angle trièdre SABC. Alors , l’arête S'C? [ou SC'] serait dirigée , soit dans l’angle trièdre SABC , suivant SD, soit sur la face SBC, suivant SE, soit enfin en dehors de Fangle trièdre, suivant SF. On aurait ainsi

Dans le premier cas :

A'S'C + B'S'C' < ASC -f- BSC ( n° 454 , coroll. ) ;

Dans le deuxième .-B'S'C' < BSC ;

Et dans le troisième :

ASC 4- B'S'C' < A'S'C' 4- BSC (n« 45q) ;

— Ce qui est absurde dans tous les cas.

Cobollaire i*r. — Un angle trièdre n’a qu’un seul symétrique.

Fig. 374. En effet : soient deux angles trièdres SABC, S'A'B'C' (fig. 374), ayant les faces égales chacune à chacune. Si la disposition de ces faces n’est pas la même , prolongeons en sens inverse les arêtes S'A', S'B', S'C': il en résultera un troisième angle trièdre S'A"B"C", symétrique de S'A'B'C' (n° 452). Or ce nouvel angle trièdre sera égal à l’angle trièdre SABC, comme ayant avec lui les faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; donc, etc.

— ancles trièdres. 36 i

Il suit encore de là :

1° Que — Deux angles tribdres symétriques d’un troisième sont toujours égaux entre eux ;

Et 2° que — Deux angles triedçes symétriques entre eux ont les angles dièdres égaux chacun à chacun : — ce qui complète la remarque 4' du numéro 452.

Coroll. 2. — Deux angles tribdres qui ont leurs faces égales chacune à chacune [ quelle qu’en soit la disposition ] ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun [ainsi que les inclinaisons ( n° 4*9 » scol.) ].

Coroll. 3. — Deux angles tribdres sont égaux lorsqu’ils ont les arbtes parallèles et dirigées dans le même sens , chacune à chacune (voyez le n° 43q).

Coroll. 4- — Deux angles tribdres sont symétriques entre eux lorsqu’ils ont les arbtes parallèles et dirigées en sens contraire , chacune à chacune.

Scolie. — Lorsque deux angles trièdres ont les arêtes parallèles chacune à chacune, il existe entre eux, quelles que soient les directions respectives de ces arêtes, la même relation qu’entre l’angle trièdre SABC (n°*45i et 452, fig. 36y) Fig.367. et l’un des sept autres formés par les mêmes plans.

N° 46 Théorème IX.

Deux angles tribdres sont égaux lorsqu’ils ont les angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

En effet, dans cette hypothèse, les faces qui composent les deux angles trièdres respectivement supplémentaires des deux proposés (n° 453) , seront égales chacune à chacune ; donc ces angles trièdres supplémentaires seront égaux [ou symétriques]

(n° 460); donc ils auront les angles dièdres égaux chacun à chacun ; donc les faces des deux angles trièdres proposés seront égales chacune à chacune; et comme elles seront d’ailleurs, ainsi que les angles dièdres, semblablement disposées, il s’ensuit que les deux angles trièdres proposés seront égaux.