L1V. III ; CBAP, III; § III
Scolie. — Cette proposition n’a pas d’analogue dans la théorie des triangles, parce que les trois angles ne suffisent pas pour déterminer un triangle (n® 174), tandis que les troia angles dièdres suffisent , comme on vient de le voir, pour déterminer un angle trièdre.
N® 46a. • Théorème X. Fig. 3y5.
Fig.375. Deux angles trièdres, SABC, S'A'B'C, sont égaux lorsqu’ils ont un angle dièdre égal, SA = S'A', compris entre des faces égales chacune à chacune et semblablement disposées.
Appliquons la face A'S'B' sur la face ASB, comme dans le numéro 460: les angles dièdres SA et S'A' étant égaux, la face A'S'C' se placera sur le plan de la face ASC ; et comme ces faces sont égales, l’arète S'C se confondra avec l’arète SC: d’où il résulte que les deux angles trièdres coïncideront.
N® 463. Théorème XI.
Deux angles trièdres sont égaux lorsqu’ils ont une face égale, adjacente à des angles diidres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.
On peut démontrer ce théorème, soit par la superposition , comme les théorèmes vm et X (u°* 460 et 462), soit en appliquant le théorème précédent ( u° 462 ) aux angles trièdres supplémentaires des deux proposés , comme on l’a fait pour le théorème îx (n° 461).
N® 464. Remarques sur t égalité et la symétrie des angles trièdres et polyèdres.
On pourrait établir un théorème analogue à celui du numéro i-]3 , pouf le ca» où deux angle» trièdre» auraient r leux faces égales chacune h chacune ainsi que l’angle dièdre opposé h l'une d’elles , et un »econd théorème correspondant pour le ca» de deux angles diidres égaux chacun à chacun ainsi que la face opposée à l'un deux ; mai», à cause de la difficulté
— AJTOLES TRIÈDRES. 363
de discuter exactement sans entrer dam de trop loups details , les restrictions auxquelles ces deux théorèmes sont soumis , non* avons ern devoir les passer sous silence et nous borner aux quatre théorèmes précedens (n°* 460 — 453). Les problèmes y et yi du paragraphe suivant (n° 4 ; 1 et 47*) suppléeront jusqu un certain point, à cette lacune.
Aulieude supposer [dans les quatre propositions précédentes] que la disposition des six élémens donnés [faces ou angles dièdres] est la même , si l’on supposait qu’elle est inverse , les angles trièdres seraient symétriques : car en construisant, comme on l’a fait ci-dessus (n° 460, coroll. i"), un troisième angle trièdre , symétrique de l’un des deux proposés, ce troisième angle trièdre aurait les mêmes élémens donnés que le second angle trièdre proposé, et de plus ces élémens y seraient disposés de la même manière ; donc les deux derniers angles trièdres seraient égaux : donc les deux angles trièdres proposés seraient symétriques.
Toutefois, il faut observer que celte condition relative à la disposition (les six élémens, devient inutile lorsque 1rs angles trièdres sont isoèdres, parce que les angles trièdres qui offrent cette particularité, sont à eux-mémes leurs symétriques [voy ez le n" 458, théor. it).
Ainsi, un angle trièdre est déterminé par trois quelconques des six élémens [faces ou augles dièdres] qui le constituent, pourvu — t° que les trois élémens donnés soient consécutifs, — et a° que la disposition soit la même. — Si cette seconde condition n’était pas énoncée, les élémens conviendraient à deux angles trièdres symétriques entre eux ; mais toutefois ils ne conviendraient à aucun autre.
Observons en outre que —Dans deux angles trièdres égaux ou symétriques , aux faces égales sont opposés des angles dièdres égaux ; — et réciproquement ;
Et que — Dans deux angles trièdres égaux ou symétriques, les inclinaisons [des arêtes homologues sur les faces égales ( n° 419» scol. ) ] sont égales chacune à chacune.
Indiquons encore , relativement aux angles trièdres , les énoncés de deux théorèmes. Le premier, analogne an théorème dn numéro 171 relatif aux triangles, se démontrerait [tardes raisonnemens analogues h ceux dn ntt-
364 LIV. 111 y CHAP. III ; § III. —
mcro 454; et ponr le second , on emploierait la propriété de l’angle trierfr» supplémentaire (n° 453).
i° Lorsque deux faces d'un angle trièdre sont égales , chacune a chacune, a deux jaces d’un autre angle trièdre , si l’angle dièdre compris par les premières est plus grand que l’angle dièdre compris par les dernières , la troisième Jace du premier angle trièdre est plus grande que la troisième face du second angle trièdre ; — et réciproquement (voyez le n® 171) ;
a° Lorsque deux angles dièdres d'un angle trièdre sont égaux , chacun à chacun , a deux angles dièdres d'un autre angle trièdre , si la face adjatente aux deux premiers est plus grande que la face adjacente aux deux derniers y le troisième angle dièdre de la première figure est plus grand que le troisième angle dièdre de la seconde figure ; — et réciproquement.
N 465. Théorème XII. Fig. 376.
Fig. 376. Deux
onglet trièdres symétriques entre eux, SABC, S'A'B'C', sont équivalent.
Ponr le prouver, prénom, anr les arêtes, les six distances égalés SA, SB, SC, S'A', S'B', S'C', et menons AB, AC, BC , A'B', A'C', B'C' : les triangles SAB et S' A'B', SAC et S' A'C', SBCetS'B'C', seront égaux chacun h chacun (n° 170) : donc les deux triangles ABC et A 'B'C' seront aussi éganx (n° 169), Cela posé, circonscrivons des circonférences aux deux triangles ABC et A'B'C' : ces circonférences seront aussi égales entre elles (n° 166, corail'.) : soient O et CF leurs centres respectifs. Les droites SO et S'O' seront respectivement perpendiculaires anx plans ABC et A'B'C' (n° 4a 1, coroll'.); et de plus, les rayons OA, OB, OC, O'A', OT1', O'C', étant éganx, les triangles rectangles SOA , SOB , SOC , S'O'A', S' CF B', S'O'C', seront anssi égaux (n» 177). Donc les deux angles trièdres SOBA, S'O'A'B', par exemple, ont les trois faces égales chacune h chacune; et comme ils sont en même temps isoèdres (n°458), ils sont nécessairement éganx (no 460). Il en est de même des angles trièdres SOAC et S'Ü'A'C', SOBC et S'Ü'B'C'.
Maintenant, il peut se présenter trois cas ( n» 1G6, scol.): les centre. O, O', tomberont tons deux k la fois, ou dans l’intérieur des triangles ABC, A'B'C' (Cg. 376), ou sur deux côtés correspondans tels que BC, B'C', ou colin hors des triangles.
Dans le premier cas , les deux angles trièdres SABC, S'A'B'C', sont composés de trois parties égales chacune h chacune, et sont par conséquent [non pas égaux (n° 3), mais] équivalrns.
Dans le deuxième cas, deux angles trièdres partiels se trouvant réduits h zéro , les deux angles trièdres proposés sont composes seulement de deux parties égales chacune h chacune; mais ils sont encore équivalons.
ANGLES TIUEDRES.
fenfin dan» le troisième cas , Ici «leux angles trièdre* SABC, S'AU'C', Fig.376. sont composes de la somme de deux angles trièdre» égaux chacun h chacun, diminuée d’un troisième angle trièdre aussi égal de part et d’autre : ainsi ils sont encore équivalens.
N° 466. Théorème XIII. Fig. 367.
Tout anale trièdre SARC est équivalent h la tlemi-somme de ses trois Fig. 367. ongles dièdres , moins ni» angle dièdre droit.
Les trois droites SA, SB, SC, indéfiniment prolongées, déterminent huit angles trièdre* pour lesquels on n (n° 45 1) :
SABC 4- SA'B C = dièdre CA A'B,
SABC 4- SAB'C = dièdre ABt/C,
SABC 4- SABC' = dièdre BCC' A.
Remplaçons , dans la dernière égalité, l’angle trièdre SABC' par son symétrique équivalent SA'B'C; ajoutons membre h membre les trois égalités , et observons (n® 45 a) que
SABC -4- SA'BC 4- SAB'C -I- SA'B'C = a [en prenant l’ angle dièdre droit pour unité]. — Non* obtiendrons: a . SARC 4-x = dièdre CAA'B 4* dièdre ABB'C 4- dièdre BCC'Aj d’où
SABC sa - {dièdre CAA'B 4- dièdre ABB'C 4- dièdre BCC'A) — 1 ;
Corollaire ter. — L'angle trièdre trirectanglc (n" qîç, sent.) est équivalent à ta moitié d’tui angle dièdre droit.
Coroi.l. a. — Un angle trièdre bireclangle est équivalent à la moitié de son angle dièdre obliquangle.
Coroll. 3. — Un angle trièdre simplement rectangle est équivalent à la demi-somme de ses deux angles dièdres obliquangles , moins un angle trièdre trirectangle.
§ IV. — Problèmes sur les Angles triedres.
N° 467. Problème I.
Étant données les trois faces d’un angle trièdre SABC (fig. 377), déterminer ses trois angles dièdres. Fig. 377.
Déterminons, par exemple, l’angle dièdre SA.
Analyse. — Pour cela, prenons les trois distances SA, SB,
SC , égales entre elles ; et menons AB , AC , BC.
366 uv. ill; CllAP. III; § IV. —
Fig. 377. Les droites SA, SB, SC, étant égales entre clics, seront
obliques au plan ABC (voyez les n°* $ig et suit'.). Donc en menant, par un point P de l’arète SA, un plan perpendiculaire à cette arête, ce plan coupera le plan ABC (voyez le n° 432) et les plans ASB, ASC, respectivement suivant les trois côtés d’un triapgle MPN, [côtés que l’on peut supposer contenus tout entiers dans les triangles SAB, SBC, SCA, en prenant AP suffisamment petit] ; et l'angle MPN ainsi formé mesurera l'angle dièdre SA ( n°* 445 et 44^ )•
Cela posé, coupons la figure suivant les droites SC, AC, BC ; et développons ou rabattons les quatre triangles qui en résultent, Fig. 378. sur le plan delà face SAB (fig. 378) : les sommets C, A, B, C', des faces SAB, SAC, SBC, se trouveront sur un arc de cercle moiudre qu’une circonférence (n° 456), décrit du point S comme centre avec un rayon SC = SA = SB = SC'; et cet arc sera décomposé en trois parties ayant respectivement pour cordes CA , AB, BC' [égale à BC de la figure 377]. De plus , MP et PN formeront une seule perpendiculaire à la droite SA ; et enfin , le triangle ABC prendra la position ABC".
Construction. — Après avoir développé la figure, etc. (voyez Y analyse) : — iu Élevons, par un point P ( fig. 378) pris arbitrairement sur SA [mais assez rapproché de A] , une perpendiculaire terminée aux deux côtés AB, AC, par les points M, N.
— 20 Du point A comme centre, et du rayon AN, décrivons un are de cercle qui vienne couper AC* en N', et menons MN'.
— 3° Avec les tiois côtés MP, PN, MN', construisons le triangle MPn [ce qui est toujours possible si l’angle trièdre demandé est lui-méme possible, puisquealors l’exislencedu triangle est une conséquence nécessaire de celle de l’angle trièdre].
L’angle MP« sera l’angle cherché.
Scoue. — On peut employer la méthode précédente pour Construire les faces de l’angle trièdre supplémentaire tT un angle trièdre donné (voyez le n° 453) :
Pourcela, il suffit de prendre les supplemensdesanglesdièdres de l’angle trièdre proposé , déterminés comme il vient d’ètie dit.
— ANGLES TR1ÈDRES. 367
N° 468. Problème II.
Étant donnés les angles dièdres <T un angle trièdre, construire ses faces.
Eu remplaçant l’angle trièdre proposé par son supplémentaire ( n° 467, scol.), on ramène la question au problème précédent.
N* 4^9* Problème III.
Étant données deux faces, ASB, ASC, d'un angle trièdre S (fig. 377), et l’angle dièdre compris , déterminer la troisième Fig. 377. face et les deux autres angles dièdres.
La question sera ramenée au problème i (n“467) si seulement on détermine la face BSC. — Cela posé :
Analyse. — Comme ci-dessus (n° 467 ).
Construction. — 1® Du point S (fig. 378) comme centre et d’un Fig. 378. rayon arbitraire SA, décrivons un arc de cercle; et menons les deux cordes AC, AB. — 2® Par un point P pris sur SA, élevons une perpendiculaire MPN terminée aux deux côtés AB,
AC, respectivement en M et en N. — 3° Avec les deux côtés MP, PN, et l’angle compris MPN qui est donné, construisons le triangle MPn. — 4° Avec les trois côtés AM , AN , et Mn, construisons le triangle MAN' [ce qui est toujours possible dans la même hypothèse que ci-dessus (n® 4^7)]- — 5® Sur AN' prolongé prenons AC" égal à AC; et formons ainsi le triangle ABC*. — 6® Prenons une corde BC' égale à BC" ; et menons SC’.
L’angle BSC' sera égal à la face demandée.
N® 47°- Problème IV.
Étant donnés dans un angle trièdre, deux angles dièdres et la face comprise entre leurs arêtes , trouver les deux autres faces.
Au moyen de l’angle trièdre supplémentaire (n° 467, scol.), le problème est ramené au précédent (n® 469).
ANGLES THIÉORES.
N° 47 1 - Problème V.
Î79- Étant données deux faces, ASC, BSC (fig. 379), d'un angle trièdre S, et l'angle dièdre SA opposé à l'une d'elles BSC, trouver la troisième face et les deux autres angles dièdres.
La question se ramène comme précédemment (n« 469) k déterminer la face ASB.
Asaltse. — D'un point , quelconque C (fig. 379) de l’arite SC abaissons une perpendiculaire CP sur la face ASB; et dn puint Pies perpendiculaires PA et PB sur les arêtes SA et SB. IVlcnons de plus CA et CB. — Cela pose', les triangles APC, BPC, sont rectangles en P ; le premier a un angle A égal i> l’angle dièdre donne (n° 4*4) i ct tous deux ont un côté commun PC ; — etc.
Construction. — 1° Construisons sur un même plan les deux angle» •38o. ASC, BSC (fig. 38o), ayant le côte commun SC. — a0 D’un point quelconque C pris sur SC , abaissons sur SB et sur SA les perpendiculaires respectives CB, CA;ct prolongeons celle-ci indéfiniment dans le sens CAP... — 3d Faisons au point A , sur le prolongement AP, l’angle PAC' égal h l’angle dièdre donné [SA de la figure précédente] ; et prenons AC' égal à AC. —
4° Abaissons sur AP la perpendiculaire C'P 5» Du point C' comme
centre, et du rayon CB, marquons un petit arc de cercle qui conpe ta droite AP en un point b. — 6" Du point P comme centre, et du rayon Pi, décrivons une circonférence. — 70 Du point S comme centre , et d’un rayon égal ■ il SB , décrivons une autre circonférence ; et soient B', B" scs points d’intersection avec la précédente.— 8° Menons SB*, SB*.
Les angles ASB', ASB*, sont en général deux solutions dn problème. Scolie. — Ce problème, comme celui du numéro 186 auquel il est analogue , est susceptible d’avoir deux solutions , ou une seule , ou de n’en avoir aucune. — Nous nous dispenserons, pour les raisons données au numéro 4fi4> de discuter les divers cas qui peuvent se présenter, ainsi que les résultats qui leur correspondent. Nous observerons seulement que si quelqu’un des angles CSA, CSB, était obtus, les perpendiculaires CA, CB, ne tomberaient pas sur les droites SA, SB, mais sur leurs prolongement rcs|>ecti(a.
N° 47 2. Problème VI.
Etant donnés deux angles dièdres d'un angle trièdre , et la face opposée a l’un d’eux , trouver les deux autres faces et le troisième angle dièdre.
Au moyen de l’angle trièdre supplémentaire (n« 4(’7> tcol.), le problème est ramené au précédent (n° 471)-
