UV. III ; CHAI*. III ; $ V

§ V. — Des Angles Polyèdres en général.

N* 47^. Théorème XIV. Fig. 38 1.

Dans tout angle polyèdre convexe , SABCDE, la somme des Fig.38i. faces est moindre que 4 angles droits.

D’abord , l’angle polyèdre étant suppose convexe, il est toujours possible de faire passer par son sommet S un plan MN [different des -faces J, tel que cet angle polyèdre soit tout entier situe' d'un même côté du plan ; eu menant alors , par un point Ad’uuearètcSA, un plan PQ parallèle au premier, celuici coupera toutes les arêtes ( n° 4*8, coroll. ) ; et de là résultera un polygone AI'CDE. Supposons que d’un pointOpris dans l’intérieur de ce polygone, on mène des droites à tous les sommets.

Il restera à prouver que la somme des angles en S est moindre que la somme des angles en 0, ce qui se fait absolument comme au numéro 456.

Seolie. — Tout angle polyèdre convexe peut donner fieu, comme l'angle trièdre, il un angle (mlyèdre supplémentaire, que Ton obtient en abaissant , d'an point quelconque de son intérieur, des perpendiculaires sur toutes scs faces. El de Ih résulte pour l’angle polyèdre ,aune extension du théorème du numéro 45- , que nous ne faisons qu'indiquer.

f 1 i , r..e, n, -Vf.— oAS ,.•'•<9 Wl ..

N* 474* Théorème XV. ’ u '

fî Tout angle polyèdiè^convexe est équivalent à la tlemi-somme tle ses angles dièdres t diminuée d'autant d’aitgles dièdres droits qu’il a de faces moins deux.

En effet : — 1* l'angle polyèdre est décompocaMc en autant d’angles trièdret qn’il a de faces, moins deux (n“ 4°0i — a° I* somme des angles dièdres de l'angle polyèdre est égale il 1< somme des angles dièdres des angles trièdres qui le composent; — 3* chaque angle trièdre est équivalent k la demisomme de scs angles dièdres , moins un angle dièdre droit (n° jGG} ;

— donc, etc.