LIV. III ; CHAP. Ht ; § T

Théorème XVI.

Si un nombre quelconque d’angles plans ayant leurs sommets aa même point, sont disposes de manière a décomposer L’EsrACE en un certain nombre d'angles polyèdres convexes , le nombre des arêtes [xf], plus le nombre des angles polyèdres [P"), formeront une somme égale au nombre des angles plans [.F’] , augmenté de deux unités.

En effet , d’après le théorème pre'ce'dem, l’espace est équivalent b la demitomn)c des angles dièdres de tous les angles polyèdres, diminuée [chaque face appartenant h deux angles polyèdres contigus] de deux fois autant d’angles dièdres droits qu’il y a de faces , et augmentée de deux fois autant d’angles dièdres droits qo’il y a d’angles polyèdres. Or, l’espace est anssi égal b 4 [l’angle dièdre droit étant pria pour unité] ; et la demi-somme des angles dièdres de tous les angles polyèdres est égale il 3 multiplié par le nombre des arêtes, puisqu'il chaque arête correspond \ droits. On a donc:

oA — %F+ oP =4,

d’oh A + P=F+ a; C. Q. F. D.

N* 4?6. RemAsqoe. — Dcnx angles polyèdres sont éganx lorsqu’ils sont composés d’un même nombre d'angles trièdres égaux chacun b chacun et assemblés de la même manière; — et réciproquement.

Deux angles polyèdres sont dits symétriques entre eux, on simplement, symétriques, lorsqu’ils sont composés d’un même nombre d’angles trièdres symétriques chacun h chacun et inversement assemblés : par conséquent, en prolongeant au-delà du sommet , toutes les arêtes d’un angle polyèdre , on forme un second angle polyèdre symétrique du premier; et l’on voit (n".]£io , co mil. i«r) qn’un angle polyèdre n’a qu'un seul symétrique.

De plus, deux angles polyèdres symétriques entre enx ont les faces égales, les angles dièdres égaux ainsi qne les inclinaisons correspondant» des arêtes sur I» faces, efe. ; et cependant, deux angles polyèdres symétriques entre enx, de même qne denx angles trièdres symétriques (n* 45a, 3*), ne sauraient, en général, coïncider (’).

Enfin, — Deux angles polyèdres symétriques sont équivalons (n» 485).

(») Ceci exige pourtant quelques explications qui s’appliqueront également h toutes les sortes de figures symétriques considéré» en général dans IVspace.

Un objet, et son image réfléchie par une glace, présentent l’exemple le plus Tulgaire de denx fignr» symétriques ;

Et géométriquement :[ —

Deux figures sont symétriques entre elles lorsque les points de l’unè et les points de l'autre , sont , deux à deux , distribués de part et d’autre

— ANGLES POLYÈDRES. 3^j

On pourrait encore établir sur l’égalité des angles polyèdres en general, des théorèmes analogues aux théorèmes ni, iy, et y, de la théorie des polygones (no* MO — m), en observant toujours que, pour l'égalité de deux angles polyèdres, il faut une condition de plus, savoir : que la disposition des elèmens donne* soit la même. Dans le cas inverse, les angles polyèdres seraient symétriques : ponr le prouver, on prolongerait les arêtes de l’un, et l'on démontrerait sans peine que le nouvel angle polyèdre ainsi forme est égal h Panne. Mous ne nous y arrêterons point, croyant faire une chose plus utile en recommandant ces sortes de recherches aux élèves qui veulent s’exercer.

Nous terminerons la théorie des angles polyèdres en proposant la démons* tration des deux théorèmes suivans : •

Théorème i. — Avec un nombre quelconque d’angles plans égaux , [pourvu que leur nombre soit au moins égal a trois et que leur somme soit moindre que 4 droits] , on peut toujours former un angle polyèdre régulier, et l’on n'en peut former qu’vit.

ThÉor. ii. — Dans tout augle polyèdre régulier , si l’on prend sur les arêtes , à partir du sommet , des longueurs égales , leurs extrémilés sont dans un même plan perpendiculaire a l'axe de l’angle polyèdre , et la section de la surface de l’angle polyèdre, par ce plan, est un polygone régulier.

d’un certain plan , à une même distance et sur une même perpendiculaire pour chaque couple de points.

Ce plan est dit un plan de symétrie.

Lersqu’nnc figure est composée de deux portions symétriques entre elles par rapporté nn certain plan, cette fignre est dite elle-même une figure symétrique. — Telle est la forme extérieure du corps humain , composée de deux parties symétriques entre elles. Les deux mains par exemple, sont symétriques entre elles; il en est de meme des deux gants qui les recouvrent ; mais observons que si on retourne ces gants de dedans en dehors, c’est le gant de la main droite , qui s’adaptera è la main ganche, ctviccversd. — Cet exemple fera facilement comprendre le genre de retournement qVil faudrait faire subir aux figures symétriqncs , pour les rendre superposables; maison voit que cette modification porte sur la forme, et non pas senlcmentsnr la situation comme ponr les figures planes. — (Voyez les n°* 45, 86, et 175.]

C’est à 1VL Legendre que l’on doit la remarque des principales propriétés îles figures symétriques , ponr lesquelles nous renvoyons h sa Géométrie.