DES PRISMES ET DU CYLINDRE

§ I". — Du Prisme en général.

N° 477- Nous avons déjà dit (n° 402) «lue l’on nomme Prisme, tout polyèdre quia pour faces deux polygones [plans, égaux et parallèles], et une série de parallélogrammes en nombre égal à celui des côtés de chaque polygone. — Les prismes sont les plus simples des polyèdres, non pas sous le rapport du nombre des faces , niais en raison des propriétés dont ils jouissent.

Pour obtenir un prisme, considérons un polygone plan Fig.38a. ABCDE (fig. 38a) ; par les sommets de ce polygone menons, hors de son plan et du meme côté , les droites égales et parallèles, AA', BB', CC', DD', EE'; et formons le polygone A'B'C'D'E'. Les quadrilatères AB', RC', CD', DE', EA', seront des parallélogrammes (n° 198), et le polygone A'B'C'D'E' sera égal et parallèle au polygone ABCDE ( n° 439 > s col. 2 ) : par conséquent la figure résultante sera un prisme.

Les parallélogrammes AB', BC', CD', DE', EA', sont les faces latérales ou les pans du prisme : «t leur ensemble compose sa surface latérale. Quant aux deux polygones ABCDE, A'B'C'D'E', on les nomme les bases du prisme; il faut observer que ces deux bases, considérées er/ériei/remew au prisme, sont inversement superposables (u° 43). — La hauteur du prisme est la distance de ses bases, ou la perpendiculaire commune A leurs plans. — Le prisme est convexe ou concave suivant que sa base elle-même est un polygone convexe ou un polygone concave; etc., etc.

— PKISMt O GÉNÉRAL. 3^3

Tous les angles polyèdres du prisme sont des angles trièdres ; et il est Évident que le prisme est déterminé quand on en connaît trois faces formant un angle trièdre , avec leur position relative. Le prisme est encore déterminé quand on en connaît seulement une base et une arête avec sa position , ou bien encore ses arêtes latérales , etc.

N° 478. Un prisme est dit triangulaire , quadrangulaire , pentagonal, . . . suivant que sa base est un triangle, un quadrilatère , un pentagone . . . , ou suivant qu’ila 3,4)5.... pans.

Trois droites égales et parallèles , non situées dans un meme, plan , déterminent encore un prisme triangulaire.

Quant aux prismes des autres espèces, ils sont aussi déterminés d’une manière analogue, par autant de droites égales et parallèles qu’ils ont de faces latérales. Il faut cependant ajouter, lorsque le nombre des pans surpasse trois, que les extrémités correspondantes de ces droites doivent ctre dans un même plan (n° 439, s col. a).

Un prisme est dit droit lorsque ses arctes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases : chaque arête est alors égale à la hauteur ; et les pans sont des rectangles. Dans le cas contraire , le prisme est oblique ; et par conséquent la hauteur est moindre qu’une arête latérale (n° 4*9)-

Deux prismes droits de même base et de même hauteur sont évidemment égaux ( n°477).

Un prisme est régulier quand ses bases sont des polygones réguliers, et que d’ailleurs il est droit; les pans sont alors des rectangles égaux.

Un prisme peut avoir «1rs plans de symétrie (n°* 416 , corail. i«r ; Cl f5o ,scol. t«r). Ainsi par rxea'ptc, tout prisme droit a au moins un pian de symétrie qui partage en parties égales les arêtes latérales et par suite le prisme.

Lorsqu’on fait passer entre les bases d’un prisme (fig. 383), fig. 383. un plan MNPQR non parallèle à ces bases, on le décompose en deux figures dont chacune est un tronc de prisme ou un prisme tronqué. Tout prisme tronqué a deux bases qui sont

374 LIY. III; CHâP. IV; § I.

des polygones généralement inégaux , mais d’un même nombre de côtés, et des faces latérales qui sont généralement des trapèzes. — Un prisme tronqué peut aussi avoir un ou plusieurs plans de symétrie.

38a N° 479- Tout prisme (fig. 382) peut se décomposer en prismes triangulaires , de la même manière qu’un polygone se décompose en triangles (n° a 17). Il suffit pour cela de mener des plans diagonaux, AC', AD', parles arêtes latérales.

Deux prismes sont égaux lorsqu’ils sont composés d’un meme nombre de prismes triangulaires égaux chacun à chacun et assemblés de la même manière ; — et réciproquement.

Deux prismes sont symétriques entre eux, ou simplement, symétriques , lorsqu’ils ont les bases et les autres faces égales chacune à chacune , mais inversement disposées.

Il est facile de voir , d'après cela , qu’f.'n prisme na qu'un seul symétrique (n° 477 ) ; — et que par conséquent — Deux prismes respectivement symétriques d’un troisième, sont égaux.

Il s’ensuit encore que deux prismes symétriques entre eux ont les angles trièdres symétriques chacun à chacun, les angles dièdres égaux, la même hauteur, les inclinaisons (n°4l9> scol.) égales ; etc., etc.

Enfin , deux prismes [à plus de trois pans] symétriques entre eux peuvent se décomposer en un même nombre de prismes triangulaires symétriques chacun à chacun; — et réciproquement.

N° 480. Théorème I. Fig. 583.

383 Les sections , MNPQR , M'N'P'Q'R', faites dans un prisme par deux plans parallèles qui coupent à la fois toutes les arêtes latérales , sont des polygones égaux.

En effet , les droites MN et M'N', NP et N'P', . . . sont parallèles deux à deux (n° 3g4 ) î or MM', NN', PF,. . . sont aussi parallèles deHx à deux; donc, les quadrilatères MN', NP',. . . sont des parallélogrammes (n° ig4 ) : donc , etc.

PRISME El» GÉNÉRAI,. 3^5

Corollaire. — Toute section faite dans un prisme par^un plan parallèle à la base , est égale à celte base ; — mais la réciproque est fausse.

Sentie. — Il fit facile de déduire du théorème précédent , celte contcqaeoce que si les bases d'un prisme droit sont des polygones symétriques par rapport à un axe ou 11 plusieurs axes, les plans menés perpendiculairement par les axes correspondans des deux hases , sont des plans de symc’trie [outre celui dont nous avons parle ci-dessus (n° 4/8) ). C'est ce qui arrive, par exemple , pour les prismes réguliers.

N* 481. Théorème II.

Deux prismes sont égaux lorsqu’ils ont une base et une face, égales chacune à chacune, semblablement disposées , et comprenant un angle dièdre égal.

En effet, on pourra faire coïncider, chacune à chacune, les deux bases et les deux autres faces ; or la base et une arête avec sa position suffisent pour déterminer un prisme (n° 477) : donc les deux prismes coïncideront entièrement.

Corollaire i*r. — Deux prismes sont égaux lorsqu’ils ont un angle trièdre compris entre trois [de leurs] faces égales chacune à chacune et semblablement disposées.

Si la disposition était inverse, les prisfties seraient symétriques : en effet, en construisant un prisme symétrique de l’un des proposes , il serait égal à l’autre (n® 4?9)-

Coroll. 2. — Deux prismes triangulaires sont égaux lorsqu’ils ont un angle trièdre formé par trois arêtes égales, parallèles, et dirigées dans le même sens, chacune à chacune (voyez le 11® 460» coroll. 1).

Les prismes seraient symétriques si les arêtes parallèles étaient, chacune à chacune, dirigées en sens contraire.

Coroll. 3. — Deux prismes droits sjmélriques entre eux sont en même temps égaux, 'et ne diffèrent que par la position.

Supposons en effet les deux prismes placés de telle manière que leurs bases inférieures et leurs bases supérieures soient, deux à deux, dans un même plan ; admettons, pour mieux