TÉTRAÈDRE
Si l’on prolonge au - delà d’un sommet quelconque S (lig. 393), les arêtes qui y aboutissent, que sur les proion- Fig.îo3. gemens on prenne SA' = SA, SB' = SB, SC'= SC, et qu’enfin l’on mène le plan A'B'C', il en résultera deux tétraèdres,
SABC, S'A'B'C', qui auront les art les égales chacune à chacune, mais inversement disposées [ce qui signifie que ces arêtes sont , à chaque angle irièdre , assemblées dans un ordre iuverse (n° /(Sa)] : ces deux tétraèdres sont dits symétriques entre eux.
N* 496. Théorème I. Fig. 393.
Deux tétraèdres, S, S', sont égaux lorsqu'ils ont trois faces Fig. 3gs. égales chacune à chacune, SAB et S'A'B', SAC et S'A'C', SBC et S'B'C', et semblablement disposées.
En effet, d’après l’hypotbèse, les angles Irièdres S et S' sont égaux (u° 460) ; et par conséquent les angles dièdres SA et S'A', SB et S'B' , SC et S'C', le sont aussi.
Cela posé , plaçons la face S'A'B' sur la face SAB ; l’angle dièdre S'A' étant égal à l’angle dièdre SA , la face S'A'C' s’appliquera sur le plan de la face SAC; et comme ces deux faces sont égales et disposées de la même manière, le sommet C tombera sur le sommet C : donc , etc.
Corollaire. — Deux tétraèdres sont égaux lorsqu'ils ont toutes les arêtes égales chacune à chacune et assemblées de ta même manière.
Scout. — Un tétraèdre est déterminé par ses six arêtes.
N’ 497* Théorème II. Fig. Sga.
Deux tétraèdres , S et S', sont égaux lorsqu’ils ont deux faces égales chacune à chacune, SAB et S'A'B', SAC et S'A'C, semblablement disposées , et comprenant un angle dièdre égal.
Même démonstration.
tétraèdre.
N" 498- Théorème III. Fig. 59a.
jfig.jg,. lieux tétraèdres sont égaux lorsqu'ils ont une face égale, ABC et A'B'C', et les angles dièdres adjacens égaux chacun à chacun et semblablement disposés.
En effet , plaçons la face A'B'C' sur la face ABC : à cause de PdgaVte des angles dièdres AB et A'B', la face S'A'B' s’appliquera sur le plan de la face SAB ; et ainsi le point S' se trouvera dans ce plan; il se trouvera de même dans les plans SAC et SBC ; donc il coïncidera avec leur point d’intersection S : donc, etc.
Scolie. — Dans les propositions precedentes, si la disposition est inverse, les tétraèdres sont symétriques : pour le démontrer, il n’y a qu’à supposer construit un tétraèdre symétrique de l’un des proposés (n° 4g5) , et prouver qu’il est égal à l’autre , ce qui est facile.
Il résulte de là qu ‘Un tétraèdre n'a qu’un seul symétrique ;
Et que — Deux tétraèdres symétriques entre eux ont les faces égales , les angles trièdres symétriques ( uD 4^4) > et ^et angles dièdres égaux , chacun à chacun.
De plus , leurs hauteurs homologues sont égales, ainsi que les inclinaisons des arêtes homologues sur les faces homologues.
N° 490- Hoor terminer ce qui regarde le tétraèdre, indiquons les énoncés de quelques théorème* propres à servir d’exercices anx élèves.
Théorèmes à démontrer.
Thèorèmk J»f. — Les perpendiculaires élevées sur les faces d’un tétraèdre par les centres respectifs de leurs cercles circonscrits, concourent toutes tes quatre en un même point.
Le point de concours est également distant des quatre sommets. Il est tantôt intérieur et tantôt extérieur; il peut aussi être situé sur une face ou sur trac arête.
îttéoa. 11. — Les plans menés perpendiculairement aux arêtes d’an tétraèdre par leurs milieux respectifs , passent tous les six par un même point.
Le point commun est le même que celui da théorème précédent.
LIT. III ; C?t AP. T ; § II, 3g^
Théo», ni. — Les plans bissecteurs des angles dièdres d’un tétraèdre passent tous les six par un même point.
Ce point est également distant des quatre faces; il est toujours intérieur.
Théor. it. — Les plans menés parallèlement aux faces d’un tétraèdre au quart de chaque hauteur h partir de ces faces [prises tour & tonr pour bases], passent tous les quatre par un même point.
Théor. v. — Aer plans menés par chaque arête d’un tétraèdre et par le milieu de l'arête opposée , passent toits les six par un mime point.
Ce point est le même qnc dons le théorème précédent. — Quand le tétraèdre est régulier, les six plans sont des plans de symétrie ; ils se conpent deux à deux i> angle droit.
Théo», ti. — Les droites menées dans un tétraèdre par les milieux des arêtes opposées , concourent toutes les trois en un même point.
Ce point est le même que dans les deux théorèmes précédens; il est situé au milieu de ehacnne des trois droites.
Théo», tu. — Les plans menés par le milieu de chaque arête d’un tétraèdre perpendiculairement h l’arête opposée , passent tous les six pat un même point.
Proposition faussez Les perpendiculaires abaissées des sommets d'un tétraèdre sur les faces respectivement opposées , conconrcnt tontes les quatre eu un même point.
§ II. — ■ De la Pyramide en général.
N° 5oo. Nous ayons nommé Pyramide en général (n» 4oa) , tout polyèdre qui a pour faces, un polygone plan d’un nom * bre quelconque de côtés , et une série de triangles dont le rommet est commun. . . ,, • ”,
D’après cette définition, l’on obtient une pyramide en coupant un angle polyèdre par un plan ( voyez le n° 4 fi] , ou en joignant par des droites, les sommets d'un polygone ABCDE (fig. 3g4) , à un point quelconque S extérieur à son Fig.3gSplan. — Les triangles ainsi formés sont les faces latérales ou pans de la pyramide; et le polygone en est la base. Le sommet commun des triangles porte plus particulièrement le nom de sommet de la pyramide. La hauteur de la pyramide est la perpendiculaire SO abaissée du sommet S sur le plan de La base
388 uv. III ; CHAP. V; $ lt. —
{prolongé s’il est nécessaire]. — Une pyramide est convexe 01 .concave suivant que sa base est un polygone convexe ou un polygone concave.
Tous les angles polyèdres de la pyramide sont des angles trièdres, à l’exception de celui du sommet quand la pyramide a plus de trois faces latérales ; et il est clair que la pyramide est déterminée quand on en connaît trois faces formant un même angle trie dre , c’est-à-dire la base et deux faces latérales contiguës , avec leur position relative. La pyramide est encore déterminée quand on connaît seulement la base et une arête avec sa position, ou bien les arêtes latérales, etc.
N° 5oi. On distingue aussi les pyramides suivant le nombre de leurs pans. La pyramide triangulaire est celle qui a trois pans : c’est la même chose que le tétraèdre. La pyramide quadrangulaire est celle qui a quatre pans , etc. — Ou bien, une pyramide est dite triangulaire , quadrangulaire , pentagonale. . . . , suivant que sa base est un triangle, un quadrilatère, un pentagone etc.
Une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier et que ses pans sont des triangles isocèles égaux entre eux, ayant pour sommet commun un point de la perpendiculaire élevée parle centre de cette base , perpendiculaire que l’on nomme axe (n° 421, coroll'.) ; on nomme de plus , apothème de la pyramide , la hauteur commune des laces latérales , qu’il faut bien distinguer de là hauteur ou de l’axe de la pyramide ainsi que de l’apothème de sa base. — Deux pyramides régulières de mime base et de même hauteur sont égales. — Une pyramide régulière est nécessairement convexe. — Le tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire régulière ; mais non pas réciproquement.
Une pyramide peut avoir (le« plans de symétrie (n°> 416, coroll. i«r.ct .|5o, scol. I*r): il faut pour cela que sa baie ait de* axes de symétrie, et que le sommet su trouve sur lus divers plans perpendiculaires .Ma base, menés respectivement par ces axes : ces plans sont alors les plans de symétrie de la pytatnide. Ainsi, dans une pyramide régulière, chaque axe de symétrie'de la base fournit vu plan de symétrie.
