I.iv. ni ; CHAP. y

§ lit. — Du Cône.

N° 5o~. De même que le cylindre peut être assimile à ur» prisme (n°48()), de inêmeaussi le cône fig- 397) peut

être considéré comme une pyramide d’un nombre infini de pans dont la base est infiniment petite (n° 5oi). Pour cette raison, la directrice d’une surface conique prend encore le nom de base quand elle est plane ; et la surface est dite circulaire quand cette base est un cercle. Enfin , quand le sommet est situé sur l’axe de ce cercle (n° 4 ai, coroll, i*r), la surface est circulaire droite. — La surface conique se réduirait à un plan si son sommet était situé dans le plan de la base [supposée plane].

Toutes les arêtes se coupant en un même point , il s’ensuit que

Tout plan mené suivant une arête et par un point <f une seconde arête , contient celle-ci tout entière.

jN° 5o8.

Théorème VI.

Fig. 5g8.

Fig. 398. Tout plan mené suivant une arête SP d'une surface co-

nique convexe , et suivant une tangente TU à sa base ABP, est tangent à ta surface conique y — et réciproquement .

La démonstration est la mêrçie que celle du numéro 49° > en observant toutefois que les arêtes , au lieu d’être parallèles entre elles, se coupent au sommet S.

Théorème VII.

Fig.

Fig 3gg Tout plan parallèle à la base OA d’une surface conique circulaire , coupe celte surface suivant un cercle.

Soient O', A', et les intersections respectives de ce plan avec l’axe SO et avec les deux arêtes quelconques SA , SB ; on aura (n° 260)? OA J O'A' ” SO ; SO',

ob: OB' :: so : so';

d’où l'on lire : O^'issOT' : donc, etc.

— Copte.

Scolîe 1". — On a: Fig. 399.

oa : o' A' :: so : so' :: sa : sa':

c’est-à-dire que — Les rayons des sections circulaires , et les distances du sommet à leurs centres et à leurs circonférences respectives , sont proportionnelles.

Scol. a. — De là il résulte ( voyez le n° 4°^) que dans la génération de la surface conique circulaire droite , tous les points de la génératrice décrivent des cercles parallèles à la base , dont les rayons sont proportionnels à la distance du sommet , et qui ont pour axe commun celui de la base ; et par conséquent la surface est de révolution autour de cet axe (voyez le n° 49 1 > *")•

Scol. 3. — Proposition analogue pour une surface conique quelconque :

— Ijcs intersections d’une surface conique par des plans parallèles sont des courbes semblables (n0 a(x)) J ce qui résulte d'ailleurs du théorème demontre pour la pyramide, au numéro 5o3.

N° 5io. Un cône circulaire droit ( fig. 397) peut être con- Fit; 397sidéré comme engendré par la révolution d’un triangle rectangle SOA autour d’un des côtés SO de l’angle droit O, qui devient l’axe du cône. — En menant un plan suivant l’axe du cône, ou a pour section un triangle isocèle ASC double du triangle générateur : on peut désiguer le cône par ce triangle, et dire le cône ASC ; lorsque ce triangle est équilatéral , le cône est dit équilatéral. — L’angle ASC se nomme l’angle au centre du cône; l’angle ASO du triangle générateur est le demi-angle au centre. — I/angle au centre est le maximum de tous ceux que peuvent former les arêtes prises deux à deux (n°* 20 et 171). .

L’espace limité par une surface conique et par deux plans quelconques menés du même côté du sommet [et qui sc coupent hors du cône] se nomme un cône tronqué ou tronc de cône. Les sections de la surface conique par les deux plans, se nomment les bases du tronc. La petite base est la plus rapprochée, et la grande base la plus éloignée du sommet. Quand les plans sont parallèles, le tronc est dit à bases parallèles.

3g4 cône.

399- Un tronc de cône circulaire droit à bases parallèles CA' (fig. 399) peut être considère comme engendre' par la révolution d’un trapèze OA' rectangle en O et en O', tournant autour du côté 00' comme axe. La section du tronc de cône par un plan mené suivant l’axe , est un trapèze symétrique (n® ao5) double du trapèze générateur.

Toutes les arêtes d’un cône circulaire droit étant égales entre elles, il s’ensuit que si l’on suppose sa surface latérale, Rendue (n® 492) suivant une arête, le développement de cette surface sera un secteur ayant pour rayou l’arète du cône, et une base équivalente en longueur à la circonférence de la base du cône. [L’angle au centre de ce secteur est nécessairement moindre que 4 droits (voyez le n® 4?3)].

Quant â la surface latérale du tronc de cône, elle devient, lorsqu’elle est développée, un trapèze circulaire (n® 35 1) dont les bases sont respectivement équivalentes en longueur aux circonférences des bases du tronc de cône , et dont la largeur est égale à son arête.

On peut résoudre, pour le tronc de cône, un problème analogue à celui du numéro 5o6, en remplaçant les côtés homologues des bases du tronc de pyramide , par les rayons ou les circonférences de celles du tronc de cône.

N® 5n. Une pyramide dont les arêtes sont des arêtes du cône , est dite inscrite au cône ; et réciproquement le cône est dit circonscrit à la pyramide.

Une pyramide dont les faces sont tangentes au cône, est dite circonscrite au cône ; et réciproquement le cône est dit inscrit à la pyramide.

Lorsqu’un cône et une pyramide sont inscrits ou circonscrits l’un à l’autre , cette même position relative existe aussi entre leurs bases.

Le cône peut être considéré comme la limite des pyramides inscrites et des pyramides circonscrites ( voyez le n® So^).

L!V. in. Cl! AP. VI; ç I,