DES POLYÈDRES (♦) EN GÉNÉRAL

§ Ier. — Des Polyèdres quelconques.

N° 5ia. Un polyèdre quelconque ( n° 402) peut toujours se décomposer [de plusieurs manières] en tétraèdres.

D’abord , un polyèdre quelconque peut sé de'coniposer en polyèdres convexes : pour opérer cette décomposition , il n’y a qu’à mener convenablement un certain nombre de plans coupans par les arêtes rentrantes.

Main tena nt, soit un polyèdre convexe SABCDEFGIKLMNOPQ P'B 4°°* (fig. 4°° ; [°n n’a représenté que les faces antérieures , pour ne pas trop compliquer la figure]. Supposons que par un point quelconque intérieur au polyèdre, on mène des droites à tous ses sommets : on déterminera ainsi autant de triangles que le polyèdre a d’arètes, ayant ces arêtes pour lisses respectives, et le point intérieur pour sommet commun. De plus , il est facile de voir que le polyèdre se trouvera alors décomposé en pyramides, ayant respectivement ces triangles pour faces latérales, pour bases les faces du polyèdre , et aussi pour sommet commun le point intérieur. Or, on sait déjà qu’une pyramide peut se décomposer en tétraèdres (n® 5o2) : donc , etc.

(*} A la place de ce mot, qui n’exprime rigoureusement que l’Idée de la ligure considérée tous le point de rue purement géométrique (n0* i«r et 3; voyez aussi page 3n, note), on emploie souvent celui de solide qui représente one propriété physique appartenant exclusivement aux corjrs matériels. Nous croyons devoir suivre ici l’exemple que nous a donné notre Maître M. Lacroix eu le bannissant du langage géométrique.

3g6 LIV. III ; CHAP. VI ; § I.

Au lieu de placer intérieurement le' sommet commun despyramides, on peut le prendre, soit sur une face, soit sur une arête, soit au sommet d'un angle trièdre, tétraèdre, etc. Par exemple , prenons arbitrairement un sommet S auquel se réu- Fig.400. nissent les trois faces SABCD, SAEF, SDGIF ; supposons des droites menées de ce sommet à tous les autres ; et achevons la construction comme précédemment : le polyèdre se trouvera encore décomposé en pyramides qui auront pour bases scs diverses faces [à l'exception cependant de celles qui se réunissent en S]. Et généralement, le nombre des pyramides obtenues sera égal au nombre total des faces du polyèdre, diminué du nombre des faces sur lesquelles se trouve le sommet commun des pyramides.

N® 5i3. Il est évident maintenant que deux polyèdres égaux peuvent se décomposer en tétraèdres égaux chacun à chacun et assemblés de la même manière ;

Et réciproquement : que — Deux polyèdres sont égaux lorsqu ils sont décomposables en un même nombre de tétraèdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

Deux polyèdres égaux ont nécessairement les arêtes et les faces égales chacune à chacune et semblablement disposées, lès-inclinaisons égales, les angles dièdres et les angles polyèdres égaux ;

Et réciproquement : — Deux polyèdres sont égaux lorsqu’ils ont les faces égales chacune à chacune , semblablement disposées , et comprenant ' un angle dièdre égal.

Eu effet, si l’on considère le tétraèdre SABE (6g. 400) et son homologue dans le second polyèdre, on voit qu’ils sont égaux comme ayant deux faces égales chacune à chacune, comprenant un angle dièdre égal [SA et son homologue] , et semblablement disposées. En retranchant ces deux tétraèdres, çn aura deux nouveaux polyèdres dans lesquels les nouvelles faces seront encore égales et les nouveaux angles dièdres égaux chacun à chacun : on pourra donc opérer sur ces nouveaux polyèdres comme sur les préccdens ; et de proche en proche

POLYÈDRES QÜEI.C. 3<)7

«n aura décomposé les deux polyèdres proposés en un même pig.ioo. nombre de tétraèdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés : d’où l’on voit que les deux polyèdres sont égaux.

Ou bien on peut encore , pour plus de simplicité, faire coïncider d’abord la face SABCD avec son homologue. I.es angles dièdres SA, AB, BC, CD, DS, étant respectivement égaux à leurs homologues, les faces contiguës se placeront chacune à chacune dans un même plan ; et leur égalité les fera coïncider.

Faisant de même coïncider, de proche en proche , les faces suivantes, on parviendra ainsi à faire coïncider entièrement les deux polyèdres.

11 est bon de «avoir d’ailleur», que la réciproque precedente contient trop de condition» : par exemple , lortque le» polyèdre» «ont convexes , il suffit qu'ils aient , pour être égaux , 1rs faces égalés chacune h chacune et disposées delà même manière; légalité des inclinaisons respectives des faces correspondantes est une conséquence de l'cgalilc de ces faces jointe h leur disposition. — [Pour la démonstration, voyez, daos le Journal de l'Ecole Polytechnique , iG« cahier, tome tx, page 87 et suiv., le a» Mémoire de M. Cauchy.]

N° 5 14. Deux polyèdres égaux ont aussi les diagonales homologues égales chacune à chacune ; d’où il suit que si l’on combine 4 “ 4> toutes les manières possibles , les sommets homologues de deux polyèdres égaux, on déterminera , en liant ces sommets par des droites, autant de couples de tétraèdres égaux chacun à chacun, que l’on peut former de combinaisons.

On peut supposer un polyèdre déterminé par 3 sommets et leurs distances à tous les autres , ce qui , en nommant n le nombre des sommets, exige la connaissance de 3 -f- 3 (n — 3) ou de 3(n — a) = 3n — 6 données.

On arrive au même résultat en supposant le polyèdre décomposé (v? 5ii) en tétraèdres n’ayant tous pour sommets que ceux mêmes du polyèdre : le premier tétraèdre exige 6 données pour déterminer 4 sommets ; il reste à déterminer (n — 4) sommets pour chacun desquels il faut un tétraèdre; chacun de ces ( n — 4) autres tétraèdres exige 3 données, ce qui fait en tout 6-)-3 (n — 4 )=3n — 6 données.

3g8 L1V. III; CHAP. VI; § I. —

11 en serait encore de même si les tétraèdres avaient un sommet commun, pris, soit dans l’intérieur du polyèdre, soit sur une arête ; mais le nombre des tétraèdres n’est pas le meme dans ces divers genres de décomposition ; et il est évidemment le plus petit possible quand les tétraèdres n’ont aucun sommet qui ne soit un de ceux du polyèdre.

Néanmoins, lorsque le polyèdre est d’uuc espèce donnée, c’est-à-dire lorsque l’on connaît le nombre de scs faces, le nombre des côtes respectifs de ces faces, et leur disposition relative, je nombre des données nécessaires ponr déterminer le polyèdre est beaucoup moindre, et sc réduit à celui des arêtes ( voyez la Géométrie de M. Legendre). Qoelqucfois meme tl est encore moindre, comme on l’a vu dans la théorie du prisme.

N° 5i5. Deux Polyèdres sont dits Symétriques entre eux lorsqu'ils peuvent se décomposer en un même nombre de tétraèdres symétriques chacun à chacun et inversement disposés.

Il résulte d’abord de cette définition , que si une face de l’un des deux polyèdres suppose's symétriques , est composée de plusieurs faces triangulaires des tétraèdres qui le composent , les faces triangulaires homologues des tétraèdres homologues du second polyèdre , se réuniront aussi en une seule dans un même plan pour former une face symétrique de celle du premier polyèdre. En effel, lorsque cette circonstance se présente dans l’un des polyèdres , c’est qu’un certain nombre d’angles dièdres des tétraèdres qui composent ce polyèdre , ont pour arête commune une diagonale de l’une des faces , et font une somme égale à 2 angles dièdres droits ; or, dans ce cas, la même chose a nécessairement lieu pour l’autre polyèdre.

Il en résulte en second lieu , que

Deux polyèdres symétriques ont toutes les arêtes égales , les faces égales [inversement superposables] , les inclinaisons égales , les angles dièdres égaux , et les angles polyèdres symétriques , chacun à chacun ;

Et que par conséquent : — Deux polyèdres sont symétriques lorsqu'ils ont les faces égales , inversement disposées , et comprenant des angles dièdres égaux , chacun à chacun.

— POLYÈDRES QOEtC. 3q6

En effet, si l’on construit un troisième polyèdre, syme'trique de l’un des proposés, il sera nécessairement égal au second (n° 5 1 3) , comme ayant les faces et les angles dièdres, respectivement égaux à ceux de ce second polyèdre, et semblablement disposés.

N°5i6. Pour construire ce polyèdre symétrique de l’un des proposés, il faut commencer par supposer celui-ci décompose' en tétraèdres, ce qui peut se faire de plusieurs manières (n° 5 12) ; mais, quel que soit l’ordre suivi dans la décomposition du premier des polyèdres proposés , le nouveau polyèdre construit sera toujours égal au second des proposés ; d’où il résulte qu’l/n polyèdre n’a qu’un seul symétrique.

De ce que cet ordre de décomposition est arbitraire, il résulte encore que — Dans deux polyèdres symétriques, les diagonales homologues [que l’on pourra toujours, au moyen d’une décomposition convenable, regarder comme des arêtes homologues de tétraèdres symétriques] sont égales chacune à chacune j — et par suite , que si l’on combine f\ à 4, de toutes les manières possibles, les sommets homologues des deux polyèdres, on formera, en joignaut ces sommets par des droites , une série de tétraèdres symétriques chacun à chacun.

Dans le cas de polyèdres conTexes, l’énoncé de la réciproque précédente contient encore des condition» superflue» , celles de l’égalité des angle» dièdres (n# 5l3).

Lorsque la figure est un prisme, les conditions de la symétrie se réduisent à l’égalité de la base et d’une face adjacente, également inclinées, et inversement disposées : parce que la base et une arête avec sa position suffisent pour déterminer le prisme (n° 477 )• [Cette observation était nécessaire pour faire voir que la définition que nous avons donnée (u° 479) des prismes symétriques en général, rentre dans la définition commune, dont, au premier abord, elle semble s’écarter.]

4oo