UV. III ; CI1AP. VI

Théorème I.

Le nombre £*£] des sommets d’un polyèdre convexe, augmenté du nombre [ F ] de ses faces , forme une somme égale au nombre \A] des arêtes augmenté de deux : — c’cst-à-dire que l’on a toujours

En effet, supposons que, par un point quelconque pris clans Pi meneur du polyèdre, on mène des droite» h tous ses sommets : ces droites détermineront une série d'angles plans, en nombre égal à celui des arctes du polyèdre, formant , par leur réunion, autant d'angles polyèdres que le polyèdre a de faces: d'où (n° 475) l’on conclut l'énoncé.

Scolie. — La formule précédente, due au célèbre géomètre Euler dont elle porte le nom, est analogue à celle que nous avons donnée an numéro (voyez le i«r Mémoire de M. Cauchy, déjà cité page 173).

N° 5 18. Théorème II.

La somme des angles plans qui forment les angles polyèdres de tout polyèdre convexe , vaut autant de fois 4 droits qu'il a de sommets moins deux.

En effet, si dans le polyèdre, on nomme t le nombre des faces triangulaires ,

q le nombre des quadrilatères ,

p celui des.. pentagones ,

h celui des hexagones,

e celui des heptagones ,

etc., etc.,

la somme de tous les angles plans du polyèdre vaudra (it -f- \q -f* Gp -f- 8/* -f- 10e + . . . .) angles droits.

Mais on a

d'où $A=Gt + üq-b 10 p •+■ iaA-f. i4« )j

et comme d'ailleurs

il en résulte

at-f-4q -h Gp 4- Sh 10e . =4 A — 4^**=s 4 (*£ — x) }

— Ce qui démontre la proposition.

POLYÈDRES QUELC. fo*

N° 51p. Théorème HL'

Dans tout polyèdre , les faces d'un nombre impair de côtes sont tou • jours en nombre pair.

Ea effet , il résulté de la valeur de A , employée dans la démonstration do théorème précédent, que la somme

3t -f- 4? *+* ty + 6A + 7« +• • • •

est un nombre pair; et par suite, plus simplement, que

est un nombre pair ; C. Q. F. D.

N° 520. Théorème IY.

Dans tout polyèdre , les sommets auxquels aboutissent un nombre impair d’arèles sont toujours en nombre pair .

En effet, comme chaque arête appartient à la fois .N deux faces, et se termine h deux sommets, il s'ensuit qu'en comptant, sottie nombre des cAtés de toutes les faces, soit le nombre des arêtes de tous les sommets, on compte deux fois le nombre total des urètes.

Par conséquent, à la valeur de A donnée dans le théorème 11 (no 5ï8)# et employée dans le théorème 1 11 (n° 5ig) qui précède, on peut substituer la suivante :

A = — (3** •èr^q' -h 5p' -h 6h' + 7e' -+■ . ..X,

formule dans laquelle

it' représente le nombre des angles trièdres ,

q' celui des angles tétraèdres , ,

p' angles pentaèdres y

h' * hexaèdres ,

• e *. heptaèdres y

etc. y etc • *'

Il en résulte, comme ci-dessus; que

et plus simplement, que . .

t* -b pi -+-«/ •••

est un nombre pair ; C . Q. IZ D.

Scotie. — La comparaison des deux théorèmes précédens conduit h une remarque très importante , en laissant entrevoir une propriété générale qui légit la théorie des polyèdres, et qui consiste en ce qu’à l'exception de quelques théorèmes [tel est , par exemple, celui d'Et/LBR ( n° 617)] dans iJê*

4<>a LIV. III; CHAP. fl; § II. —

nonce desquels le nombre de» face» et celai de» sommets figurent de I* tourne manière, il ne saurait exister, entre le nombre des arêtes, celai des sommets, et celui des faces , aucune relation à laquelle il n’en réponde une autre que l'on déduit de la première en permutant simplement entre eux le» mots faces et sommets.

On nomme conjugués ou réciproques, le» polyèdres qui présentent ce» relations mutuelles.

[Voyez , pour la théorie de» polyèdres , le» deux Mémoires de M. Cau- CHT cités plus haut (n°* 5t3 et 5t 7), le Mémoire de M. Poisser, cité an no a»5, les Annales de Mathématiques de M. Gergosre, en divers endroits, et notamment tome xt, page 1Ü7, enfin les savantes Notes de la Géométrie de M. Leoebdbe. J

§ II. — Des Polyèdres réguliers.

N* 5a 1. Théorème V.

Il ne peut exister que 5 sortes Je polyèdres réguliers.

Considérons d'abord les polyèdre» à faces triangulaires.

Les faces étant des triangles réguliers , on ne peut , à chaque sommet, réunir plus de 5 faces , parce que chaque angle plan d’un triangle éqnilatérsl

vam — , et que — X fi= 4 . *omme déjà trop forte pour former un angle po-

3 3 ) tl

lyèdre (n« 47 3j.

On pourra donc rénnir 3 , ou 4 , 00 5 triangles ; et dans ces trois cas on 3 •

anr» A — - F, puisque chaque triangle a 3 côtés , et que chaque côté d’un

triangle se réunit à un côté d’un autre triangle ponr former une arête. De là on tire, par le théorème d’EoLEa, pour le Cas oit le» face» du polyèdre sont des triangles,

%S=sF+\.

Si l’on réunit 3 triangles à chaque sommet da polyèdre, on anra

S = -F—Fi d’nh a/?=s/!'-l-4,0uF = 4i

et la figure set» nn tétraèdre régulier.

Si l’on réunit 4 triangles à chaque sommet, on anra

S — y f d’où -f = F -b 4, ou Fr=H:

et la figure sera un octaèarc régulier.

Si l’on réunit 5 triangles à chaque sommet , ou aura

S = j F j d’où ou F=a "i

et la figuie seia nu imsaèdre régulier. .

— * ■ POLYÈDRES RÉGULIERS. ^tl3

Maintenant , prénom peur facra des carrés : non* anrona

A x=. - F = oF: d’où S=F + o.

On ne peut assembler des carres que 5 à 3 : donc

d’où |f=F + o, on F = G;

ainsi la figure sera un hexaèdre.

Enfin , prenons pour faces des pentagones nous aurons

A = -F-, d’où i’erif'+a, on *J’=3/î’+4-

Les pentagones ne peuvent non plus s'assembler qué 3 à 3 : ainsi

S=^F; d’où jF=3F+4, Ou /’=!*;

et la figure sera un dodécaèdre. " .

On ne saurait former d’angle triôdfc avec des hexagones réguliers, nt il plus forte raison avec des polygones réguliers d’un nombre de cfllc's plus grand que fi (n° 456) : donc

Il ne peut exister que 5 Sortes de polyèdres régalien.

Prouvons maintenant qu’en effet ces polyèdres peuvent être construits.