CONSTRUCTION DES POLYÈDRES RÉGULIERS

W’Saa. Tétraèdre régulier (fig. 4oi). — Ou pent toujours réunir trois pig. 40t. triangles équilatéraux SAB, SAC, SBC , de manière à former un angle trièdre S (n° 477 , théor. i). Cela fait, la figuré ABC sera évidemment un triangle égal aux trois premiers , et les angles dièdres seront tous égaux (n° 458, théor. I) : — donc , etc.

Le tétraèdre re'gulicr a 4 sommets et G arêtes : le nombre des sommets est donc égal è celui des faces. — Nous avons vn (n° 499, théor. v) qu’il avait 6 plans de symétrie.

N* 5aî. Octaèdre régulier ;fig 40a). — Supposons que par le point O, Eig.ijoC l’on mène d’abord 3 droites, AA’, BB', CC', perpendiculaires entre elles (n0445, scof.),de manière que OA = OA' = OB = OB'= OC = OC'; puis ensnite, les droites AB, B A', A'B', B'A, CA, CB, CA', CB', CA.C'B,

C'A', C'B' ton aura formé ainsi huit pyramides triangulaires régulières,

OABC, OBA'C, OA'B'C, OB'AC, OABC , OBA'C', OA'B'C', OB'AC;j

égales entre elles (n<> 4ç)G)-

4«4 l-IV III; CBAP. Vf; $ n. —

Donc le» face» ABC, HA'C, A'B'C.B'AC, ABC', BA'C', A'B'C', B'AC'. nom égales entre elle» ♦*! egalement inHinécs • donc le polyèdre h huit face» CAB A'B'C est un polyèdre régulier.

L'octaèdre régulier a fi sommet» et ix arêtes.— Il a 9 plans de symétrie, dont 6 sont perpendiculaires sur les milieux de» arêtes opposées prises deux à deux , et les 3 autres sur les milieux des droites qui («lignent les sommets opposes pris aussi deux 5 deux. Chacun de ces derniers partage la ligure en deux pyramides quadrangulaires régulières égales entre clics et opposées par l i hase.

1S* S04. lentaèdre régulier (fig. 4o’). — Soit un triangle équilatéral ABC. Supposons d'abord qu'avec cinq triangles égaux è ABC £le triangle ABC compris] nn forme au point A un angle pentaèdre régulier, ce qui est toujours possible (n<> 477 • théor. 1). Supposons ensuite qu'au point B on forme de la mémo manière, en employant la face ABC, un angle pentaèdre régulier : ce second angle pentaèdre sera égal .an précédent; leurs angles dièdres seront par conséquent tous égaux; donc ces deux angles pentaèdres •auront deux faces communes, ABC’, ABD. De mémo, il suffira de deux nouveaux triangles CFG, CGI, pour former au point C un troisième angle pentaèdre régulier, puisque les angles dièdres AC, BC , ont la valeur convenable. On anra ainsi rénni dix triangles égaux et également inclinés , cvjinposani une sorte de calotte polyédrale DEFGIK, telle que les angles de son bord seront alternativement formés dé deux et de trois triangles.

Cela fait, imaginons qoe l’on construise «le la même manière, une seconde calotte égale è la première : tons les angle* dièdres de cette seconde calotte auront la même valeur que ceux de l'autre. Donc on pourra, *ans solution de continuité, réunir les angles doubles du bord fie la première avec les angles triples dn bord de la seconde, et vice vend ; et il en résultera nne figure h xo faces égales entre e'Ies et également inclinées.

L’icosardrc régulier a ix sommets, 3o arêtes , et i5 plans de symétrie qui passent par les arêtes opposées prises deux à deux. Les 5 faces qni se réunissent à chaque sommet forment une pyramide régulière.

?ïo 5x5. Hexaèdre régulier (fig. 38b). — C'est le polyèdre que l’on a nommé cube (n# 4^Q)*

Le enbe a 8 sommets et ix arêtes. — IV ou» avons vu (no 4Sx) qu'il a 9 plans de symétrie.

L’octaèdre régulier et le enbe ont le même nombre d'arêtes et le même nombre de plans de symétrie ; et le nombre des faces de Pnn est égal an nombre des sommets de l’autre.

Fig. ÜV° 5xfi. Dodécaèdre régulier (fig. 4o.f).— - Supposons qo’avec trois pen-

tagones icguliers égaux on forme un angle trièdre, ce qui est possible (n° 477» théor. 1;: les trois angles dièdres de cet angle trièdre seront égaux (n° 4$8> théor. 1). Maintenant, avec de nouveaux pentagones égaux aux

POLYÈDRES RÉGULIERS. ^o5

prccnleiu . on peut de mime former successivement au fioint B, au point C, au point D, et entio au point E, d’autre» angles trièdres, toujours de même râleur. Cela fait, on a ara star pentagones réguliers composant une calotte FGIKLMNOPQ, telle que le» angle», de sou bord seront alternativement formes d'un et de deux angles plans.

Si l’on imagine ensuite une seconde calotte égalé il la première , on pou ira les réunir toutes deux bord à bord de manière que les angles simples de l’une se raccorderont avec les angles doubles de l’autre ; et l’on aura ainsi une figure h in faces égalés et egalement inclinées.

Le dodécaèdre rc'gnlier a 30 sommets, 3o arêtes, et t5 plao* de symétrie qui passent par les arêtes opposées prises deux il deux.

Le nombre des atètes, dans l'icosaèdre régulier, est le même que dans le dodécaèdre; il en est de même du nombre des plans de symétrie ; et le nombre des sommets de l’nn des polyèdres est égal au nombre des fsces de l’autre.

N° ,537. Théorème VI. Fig. 4<>5.

Tout polyèdre régulier est dccomposable en autant de pyramides Fig 4^5. régulières égales entre elles qu'il à de faces ; — [déplus, ccs pyramides ont pour sommet commun un point qui est également distant, d’une part de tous les sommets du polyèdre, ensuite de toutes ses arêtes, cl enfin de toutes ses fares].

Soient ABC, ABD, deux faces adjacentes d’an polyèdre regpjier quelconque, AB leur commune arcte, et E, F, leurs centre» respectifs. Des points E, F , abaissons sur AB des perpendiculaires : elles seront égales et tomberont en un point Gj de pins, elles détermineront tin plan perpendiculaire h AB (no 413), et par conséquent aux deux faces (n° 4^4 • *coi.)9 et feront an angle EGFdont la mesure sera celle de leur angle dièdre (n° 448). Cela posé, parles points E et F , menons des droites respectivement perpendiculaires aux deux faces : elles se couperont (n° 1 4-3) en un point O -qui sera également distant des points A, B, C, D (no 4^0 : les pyramides OABC,

OABD, seront donc régulières (n° 5oi>, et égales entre elles (n° 5o4); et leurs hauteurs respectives seront OE , OF.

Je dis maintenant que toutes les perpendiculaires élevées sur chacune des antres fsces par leurs centres respectifs, viendront aboutir au point O : et il suffit de prouver la proposition pour nnc troisième face adjacente h l’une des deux premières. Pour cela , supposons que du centre d’nnc face adjacente à ABC, on mène une droite an point O : cette droite, la droite EO, et les intersections de leur plan avec les deux faces correspondantes du polyèdre, détermineront un quadrilatère qni sera égal an quadrilatère OEGF : car il est « facile de voir que ces deux quadrilatères auront trois cAtés égaux chacun à chacun ainsi qne les angles compris entre eux , et qui sont , l’angle dièdre du polyèdre, et nn angle droit. ,4 *

De l«H on conclut sans |»eine l'énonce du théorème.

4«6 uv. 111 ; cbap. VI; § il. —

Sentie Ier.— On* peut nommer pyramide s intégrantes , les pyramide* régulières qui composent les polyèdres réguliers.

Seal. ». — Le point O est, de pins, le point de concours de tons les plsns de symétrie : on le nomme le centre dn polyèdre régulier. On nomme rayons dn polyèdre régulier les arêtes late'ralcs des pyramides intégrante* qni le composent, on les distances dn centre anx sommets; 1a lianteordea pyramides, on la distance do centre anx faces , est l’ apothème do polyèdre.

Scol. 3. — On polyèdre pent n’avoir pour faces que des polygones réguliers, sans être pour cela un polyèdre régulier; exemple : deux tétraèdres réguliers égaux opposés base \ base.

N° 5a8. Problème I.

Etant donné un polyèdre régulier, trouver l’angle dièdre de deux faces adjacentes.

Tétraèdre (n* 5»a). — Formez un angle Irièdre régulier avec trois anglrs de triangles équilatéraux : son angle dièdre sera l’angle dièdre cherché { voyez le n°

Cube ( n° 5»5 ), — formez un angle trièdre régulier avec trois angles droits : son angle dièdre sera l’angle dièdre cherché. — Cet angle est droit.

Octaèdre (n<>5»3). — Formez un angle Irièdre avec deux angles de triangles équilatéraux et un angle droit : l’angle dièdre opposé St celui-ci sera l’angle dièdre cherché.

Dodécaèdre (n° 5»G). — Formez un angle trièdre régulier avec trois angles de pentagones réguliers : son angle dièdre sera l’angle dièdre cherché.

Icosaèdre (n* 5»$). — Formez un angle trièdre avec deux angles de triangles équilatéraux et nn angle de pentagone régulier : l’angle dièdre opposé !t ce dernier sera l’angle dièdre cherché.

JN° 5ug. Problème IL

Étant donné un polyèdre régulier, construire son apothème et son rayon.

Construction.— ta Formez un triangle rectangle ayant pour un des cAtés de l’angle droit, l’apothème d'nne face do polyèdre, et pour angle adjacent è ce côté , l’angle qui correspond h la moitié de l’angle dièdre de deux faces adjacentes (n» 5»8) : l’autre cAté de l’angle droit sera l 'apothème dn polyèdre.

x° Formez un triangle rectangle ayant pour cAlca de l’angle droit , l’apothème du polyèdre (t°) et le rayon d'nne de ses faces : l’hypoténuse sera le rayon du polyèdre.

POLTÈUHfcS RÉGULIERS.