partie est plus petite que le tout auquel elle appartient

Enfin, il y a des propositions qui ne sont susceptibles d'aucune sorte de renversement , c’est-à-dire dont les énonces prisa rebours n'offrent aucun sens raisonnable à l'esprit.

N° 36. Le Corollaire est la conséquence immédiate d’une proposition qui précédé.

On doit voir, par cette définition , qu'il ne saurait exister de différence bien essentielle entre un corollaire et un théorème : d’une part, en effet , presque tous les théorèmes sont des conséquences de ceux qui les précèdent plus ou moins immédiatement ; et d'autre part, les corollaires ont souvent autant d'importance que les théoièmcs sur lesquels ils s'appuient. Aussi pourrait-on, dans bien des ras, employer indifféremment Tune ou l'autre de» deux dénominations; seulement , celle de corollaire appliquée à une proposition , suppose presque tonjours que, s’il faut un nouveau raisonnement pour en établir la véri lé, ce raisonnement est assez simple pour que la suppression puisse en être fuite sans beaucoup d'inconvénient.

N° 37. Le Problème est une question qui a pour objet la détermination de certaines choses inconnues , au moyen d’une ou de plusieurs autres choses connues ou données qui ont avec les premières, des relations indiquées par l 'énoncé. — Résoudre un problème, c’est parvenir à la détermination de ces choses inconnues ; et le résultat qu’on obtient ainsi , s’appelle la Solution du problème.

Les problèmes de Ge'ome'trie peuvent se grouper en deux espèces principales : les problèmes graphiques ou relatifs aux figures , et les problèmes numériques ou relatifs à \’ étendue ( n° a).

N° 38. Les problèmes graphiques consistent à tracer une figure qui remplisse certaines conditions détermine'es, c’est-àdire, à trouver certains points, A décrire certaines lignes, qui aient certaines relations déterminées avec certains points , avec certaines lignes données , soit de forme et de position, soit de grandeur seulement : et c’est là ce qu’on appelle/àir»: la construction du problème.

*— PROBLÈMES. a5

Quant aux problèmes numériques de la Géométrie, ils consistent simplement en applications particulières des propositions générales relatives à la mesure des différentes sortes d’étendue.

Les questions de celle dernière espèce rentrant donc , sous un certain point de vue , dans le domjinc de V Arithmétique t on pnnrrait, h la rigueur, les séparer du Cours de Géométrie proprement dit. Mais comme , d’un autre côte', il est très important que les élèves soient habiles à appliquer des connaissances qui, s'ils en négligeaient la pratique, leur deviendraient h peu près inutiles, nous avons cru devoir, pour cette raison, donner quelques exemples de résolution des problèmes de ce genre, qn'ilest d'ailleurs facile de multiplier autant qu’on le juge convenable.

U existe encore des problèmes mixtes qui tiennent h la fois des problèmes graphiques et des problèmes numériques. — Ainsi, tantôt il y a une construction préparatoire h effectuer pour arriver h un résultat numérique , tantôt il y a des longueurs h mesurer pour fixer la position de certains points d'une figure, etc. — On rencontrera , par la suite, des exemples de ces différens cas.

3g. Outre les diverses classes de problèmes dont nous venons- de parler , et que l’on peut comprendre sous la dénomination commune de problèmes pratiques , puisque leur résolution consiste toujours , soit dans des opérations manuelles, soit dans des applications numériques de propositions précédemment démontrées , on doit encore distinguer un antre genre de questions dont la solution fournit, au contraire, de nouvelles connaissances générales, et auxquelles on pourrait, par celte raison, appliquer le nom de problèmes théoriques .

Mais ces sortes de problèmes étant , en réalité, bien moins des questions proprement dites, que de véritables propositions qu'il serait long ou difficile, et quelquefois même impossible, d'énoncer clairement sous la forme qoi leur est propre , on doit , dans une classification bien logique , les ranger parmi les théorèmes. D’ailleurs, comme on le conçoit facilement, il n’est aucune proposition qu’à la rigueur on na puisse, en intervertissant l'ordre des idées, transformer en nnc question h résoudre; et vice versd.

jN° 4o. Noos observerons en outre que beaucoup de problèmes , surtout de problèmes numériques, sont susceptibles , comme les théorèmes, de donner lieu à des problèmes réciproques on inverses : c'est ce qui arrive lorsque, après avoir résolu une question, l’on s’en propose une autre dans laquelle le# inconnues de la première sont prises, en totalité ou en partie, pour données de la scoonde; et vice versd: — Ainsi, Etant donnée une circonférence, déterminer son rayon , — » et, Étant donné le rayon , déterminer la circonférence^ — sont deux problèmes réciproques l’un de l'antre. — La solution des problèmes inverses peut servir de preuve ou de vérification à celle des problèmes directs.

a6 INTRODUCTION ; —

N° 41. Enfin, pour terminer l’énumération qui précède, il nous reste à parler du Scolie. — On nomme ainsi une remarque ou observation faite sur une ou sur plusieurs des propositions qui ont précédé, et ayant pour objet de faire ressortir l’extension qu’on peut leur donner, les restrictions auxquelles elles sont soumises, leur liaison mutuelle, leur utilité , etc.

Quelquefois aussi, le scolie est une portion de théorème, ou une proposition partielle % que Ton juge assez importante par clle-racîme pour mériter une attention spéciale.

Au reste , nous emploierons généralement le titre de scolie quand il ne t'agira que d’observations fie peu dVtcndue , et portant principalement sur une proposition ou sur une question déterminée ; dans tous les cas contraires , nous nous servirons du mot Remarque

Souvent i le scolie donne lieu ?» établir de nouvelles définitions , ?l démontrer de nouveaux théorèmes f U résoudre de nouveaux problèmes : nous en rencontrerons fréquemment des exemples.

Méthodes de Démonstration et de Résolution.

H° 42. Des dilféiens moyens de démonstration particuliers à la Géométrie, le plus fécond à la fois, et le plus simple lorsqu’il est susceptible d’être employé , se trouve sans contredit dans la Superposition des figures (n° 3). Ce moyeu consiste à prouver que l’on peut faire coïncider, c’est-à-dire que l’o n peut appliquer exactement l’une sur l’autre, deux figures ou deux portions de ligures; et alors, ou bien de la superposition possible des deux figures totales on conclut l’égalité de toutes leurs parties chacune à chacune ; ou bien de la'super— position des parties essentielles des deux figures, c’est-à-dire des parties qui, une fois données, déterminent toutes les autres, on conclut l’égalité des figures totales, et par suite celle de toutes les autres parties.

N° 43. Il existe pour les figures planes deux modes différens de superposition. — C’est ce qu on admettra sans peine si l’on observe que toute figure tracée d’abord sur un plan, et ensuite détachée de ce plan par la pensée , offre toujours deux faces que l’on peut appeler le dessus et le dessous (n® i3) de la figure, ou bien, en termes vulgaires, l'endroit et l’envers .