SUPERPOSITION

Or, les deux faces qui, dans la superposition, s’appliquent l’une contre l’autre, ou en regard l’une de l’autre, peuvent être, ou deux faces de même nom, ou deux faces de noms opposés. On a un exemple du premier cas dans la démonstration employée au numéro 18 pour faire voir que Tout diamètre [d’un cercle] divise le cercle et sa circonférence en deux parties égales. La proposition du numéro 17, que Deux circonférences de même rayon sont égales , offre un exemple du second cas. Nous dirons que la superposition est directe lorsque deux faces de noms opposés sont appliquées l’une contre l’autre, ou, en d’autres termes, lorsque deux faces de même nom regardent la même région ( n° i3) de l’espace; et nous nommerons superposition inverse celle qui a lieu dans le cas contraire, où deux faces de même nom se regardent mutuellement. De plus, pour exprimer que deux figures sont inversement superposables , nous dirons qu’elles sont symétriques entre elles , ou simplement , qu’elles sont symétriques; expression qui indique suffisamment que les figures sont formées d’élémens ayant , deux à deux , la même mesure , sans toutefois pouvoir être elles-mêmes considérées comme identiques.

N° 44- Cela posé , pour obtenir la coïncidence de deux fi gures tracées dans un même plan, il y a généralement trois sortes de mouvemens distincts et successifs à faire prendre à celle des deux figures, que l’on suppose mobile , avant de l’amener à se confondre avec la figure fixe.

Soient en effet (fig. 21), ABC ou abc la ligure fixe, et A'B'C' Fig.ai ou abc' la figure mobile que l’on veut faire coïncider avec la première : [\es points analogues ou homologues , c’est-à-dire ceux qui doivent se confondre deux à deux dans la superposition , étant désignés par les mêmes lettres (n° 4)].

Premier mouvement : la translation ou la transposition.

Faisons glisser la ligure A'B'C' ou a'b'c (fig. 2 1 ) dans son plan, de manière que l’un de scs points, A' ou a , vienne coïncider avec son homologue, A ou a (fig. 22), de la figure ABC ou abc. Fig.aj

20 INTHODUCTIOS ; —

Deuxième mouvement : la rotation ou le pivotement. — 1' .lisons tourner la figure A’B'C’ ou a'b'c' (fig. 22) , toujours en. glissant dans son plan , autour du point A ou a suppose fixe, de manière qu’un second point, B’ ou b' , vienne coïncider Fie. a3 avec son homologue , B ou b ( fig. 23 et 24 ). — [ Le point A ** prend , dans ce mouvement, le nom de centre de rotation. J

Troisième mouvement [auquel on n’a jamais recours que pour la superposition inverse] : le rabattement ou le renver- Fig.a4- sentent. — Plions la figure totale abca'b’c' (fig. »4) Ie long de la droite ab [ou a b'] considérée comme charnière (u® i3), en soulevant le poiut c au-dessus du plan de la figure fixe ; et continuons ce mouvement jusqu’à ce que le point c revienne, de^l’autre côté de ab , retomber dans le plan et se placer sur son homologue c. — ^La droite ab est dite l’are de rabattement ou de symétrie.']

N3 45. Ces trois mouvemeus effectués convenablement , les deux figures, supposées égales, se confondent ; mais notons bien que tous les trois ne sont pas toujours nécessaires : c’est ainsi que le rabattement, dans le numéro 18, a suffi pour déterminer la superposition des deux moitiés d’un meme cercle y comme la translation, dans 1 e numéro 17, avait suffi pour faire coïncider deux cercles de rayons égaux.

Il est important d’observer encore, que le troisième mouvement, le rabattement , est celui qui caractérise le genre de superposition : c'est-à-dire que la superposition est directe quand on n’est pas obligé , pour l’exécuter, de retourner l’une des figures sens dessus dessous , comme dans la série des figu— Fig.ai res ABC, A'B'C' (fig. 2 1 , 22 , et 23) ; et au contraire , que la superposition est inverse quand le rabattement est indispensable , comme dans les figures abc , a'b'c' (fig. 21, 22, et 24) , lesquelles sont alors symétriques entre elles (n® 43).

Remarquons enfin, que, dans beaucoup de cas, les deux modes de superposition peuvent s’exécuter sur les mêmes figures. C’est ainsi que l’on démontrerait tout aussi bien la proposition du numéro 1 7 en renversant l’un des deux cercles

— RÉDUCTION a l’absurde, ag

sur l’autre, et que, dans celle du numéro' 18, on pourrait obtenir la superposition des deux demi-cercles en faisant pivoter l’un d’eux autour de son centre.

N* 4 G. Quoique, dan» r c qui précède, nous n’ayons parle' que de la supci position de» ligure» plane», ce que nous en avons dit s'applique egalement, h quelques légères mollifications près, aux figures considérées généralement. Ainsi, pour faire coïncider , dans l'espace, deux figures égides, ABC..., A'B'C/..., il faudra de même, faire prendre h la figure mobile A'B'C'..., tiois mouvemens successifs.

i° On transportera A'B'C'.. . de manière que le point A', par exemple, décrivant une ligne quelconque [droite ou autre], vienne se placer sur son homolognc A.

a* On amènera un second point B' à coïncider avec son homologue B, en faisant pivoter la figure A'B'C'... autourdu point A. — [Pour plus de simplicité', le point B' pourra, dans ce second mouvement, rester constamment dans le plan détermine' (n* n) par sa position primitive et par les points A et B.]

3* Enfin, on fera faire h la figure A'B'C'. .. une révolution autour de la droite AB [que l'on nomme alors l'axe de révolution ] , de manière qu'un troisième point C' vienne coïncider avec son homologue C.

Et alors les deux figures, supposées égales, se confondront.

Ainsi, comme on le voit, — Pour les figures dans l’espace , il n’y a qu’une seule sorte de superposition ou d'égalité $ — et l’on aperçoit sans peine que les deux genres de superposition applicables aux figures planes, s'y trouvent compris comme cas particuliers.

Au reste, devant avoir une foule d'occasions d'éclaircir parties exemples , les principes de l'égalité et de la superposition des figures, noos n’en parlerons pas davantage pour le moment.

N° 47- H existe un autre mode de démonstration , plus général encore que le premier, eu ce que ses applications, ne se bornant pas à la seule Géométrie, peuvent s'étendre à toutes les sciences de raisonnement. Cette méthode, connue sous le nom de Réduction a l’Absurde, consiste à supposer d’abord que la proposition à établir ne soit pas vraie puis , par certaines déductions tirées de principes déjà reconnus, à faire ressortir une contradiction , soit avec quelqu’un de ces principes, soit avec la supposition elle-même.

Un pareil genre de raisonnement, quoique très rigoureux , a pourtant quelque chose d’indirect; aussi doit-on en faire uage avec beaucoup de réserve, principalement à défaut d’autre, ou quand la démonstration est notablement plus courte

3o INTRODUCTION ; —

qu’une directe, et enfin lorsqu’on a déj;\ acquis, par des conside'rations quelconques, un pressentiment de la vérité qu’il s’agit de mettre en évidence, comme il arrive , en particulier, dans les propositions nommées réciproques ( voyez le n° 34).

' N° 48. Prenons pour exemple la première réciproque citée au numéro 34, laquelle correspond au théorème du numéro 18 ; et voyons comment on démontre cette réciproque par la réduction à l’absurde. — Il s'agit de prouver que Fig. a5. Toute corde, AG (fig. 25), qui divise un cercle, OA, ou sa

circonférence , en deux parties égales, est un diamètre.

En effet, si AG n’était pas un diamètre, on pourrait toujours mener par le point A un diamètre AOD ; et l’on aurait, en vertu de la proposition directe, ABD égal à DCA. Or ABG est évidemment plus petit que ABD, tandis qu’au contraire, GCA est plus grand que DCA ou ABD ; donc ABG est plus petit queGCA : ce qui implique contradiction avec la supposition que ces deux arcs ou ces deux segmens sont égaux. Donc il est impossible que AG ne soit pas un diamètre.

— Au reste , on peut raisonner plus simplement , et dire :

<< Il passe certainement par le point A une corde unique ayant la propriété de partager le cercle en deux parties équivalentes; et il passe aussi par le point A un diamètre unique (n° 8); or ce diamètre partage le cercle en deux parties équivalentes : donc les deux droites se confondent. »

N° 49- E'1 généralisant cette dernière manière de raisonner, on est évidemment autorisé à établir l’axiome suivant:

Toutes les fois que , dans une figure , il existe quelque ligne remplissant à la fois plusieurs conditions qui ne sont pas toutes nécessaires à la détermination de cette ligne , on peut affirmer que toute ligne de même nature que la première sera identique avec elle, si , parmi ces conditions , elle en remplit un nombre suffisant pour la déterminer.

On a une application bien simple de ce principe , dans la proposition prise pour exemple au commencement du nu~

— réciproques. 3i

méro 35. En effet, on suppose démontré que la droite, qui passe par les deux points A et B , passe aussi par le troisième point C ; et comme d’ailleurs il suffit de deux points pour déterminer une droite, on peut établir immédiatement les deux réciproques citées.

N°5o. Voici de nouveaux exemples fort simples de propositions et de leurs réciproques, lesquels donneront lieu à établir un autre principe général également fort important.

— Un cercle étant tracé sur un plan :

i° Tout point situé sur la circonférence, est à une distance du centre égale au rayon ;

2° Tout point situé en dedans du cercle, est à une distance du centre plus petite que le rayon ;

3“ Tout point situé en dehors du cercle , est à une distance du centre plus grande que le rayon.

La première de ces propositions est comprise dans la définition même du cercle ; et les deux autres en sont des conséquences évidentes.

Réciproquement : — Un cercle, étant donné sur un plan :

i° Tout point dont la distance au centre est égale au rayon , est situé sur la circonférence ;

2° Tout point dont la distance au centre est plus petite que le rayon , est situé en dedans du cercle ;

3° Tout point dont la distance au centre est plus grande que le rayon, est situé en dehors du cercle.

Ces trois réciproques résultent nécessairement de l’existence déjà supposée admise des trois propositions directes. Par exemple, si le point est à une distance du centre , moindre que le rayon , il ne peut être situé qu’en dedans du cercle ; car, pour qu’il fût situé sur la circonférence ou en dehors du cercle, il faudrait , en vertu de la première et de la troisième des propositions directes, que sa distance au centre fût égale au rayon ou plus grande que le rayon : ce qui , dans un cas comme dans l’autre, serait contraire à l’hypothèse, et par conséquent absurde.

N° 5i. Maintenant, on peut fonder, sur le genre de démonstration que nous venons d’employer, cet autre axiome non moins évident que le premier (n° 4g) :

Toutes les fois que, dans une proposition ou dans une série de propositions , toutes les hypothèses admissibles ont été faites sur un sujet déterminé , et que ces hypothèses ont conduit à des conclusions respectives essentiellement distinctes et telles que chacune d’elles exclue toutes les autres , on peut affirmer que les réciproques des propositions établies sont toutes vraies.

Ainsi , en revenant sur les trois premières propositions du numéro précédent, comme on aperçoit sur le champ — i° que le point, pris pour sujet, ne peut avoir que trois sortes de positions essentiellement différentes dans le plan du cercle ; — 3° que pour chacune de ces positions , il y a une conclusion particulière relativement à sa distance au centre ; — et 3° qu’enfin une quelconque de ces trois conclusions exclut les deux autres : — alors , on ne saurait concevoir de doute sur l’existence d’aucune des trois réciproques.

N° 52. Nous engageons les élèves à se bien pénétrer de ces deux principes (n°* 4g et 5i), qui, tantôt l’un , tantôt l’autre, sont applicables à presque toutes les réciproques.

Le dernier de» deux fn» 5i) peut sertir en entre H expliquer pourquoi certaines réciproque» «ont lamie» (n* 35}. Il fait toir que telle* sont particulièrement 1rs réciproques qni correspondent h des théorèmes dont la conclusion ne convient pas seulement 4 l'hypothèse établie, mais encore 4 d’autres hypothèse» faites sur le même sujet.

Par exemple, si la réciproque de l’axiome a» du numéro 3o est fausse Co* 35} , cela tient 1 ce que deux quantités sont égales entre elle», non-seulement quand elles sont respectivement égale» h une troisième, mais encore lorsqu’elles sont h la lois doublet , triples , quadruples .... , sntu-doutles. .. , etc. , d'une troisième quclcouque.

N“ 53. Nous terminerons ce qui a rapport aux méthodes de démonstration , en signalant deux sortes de faux raisonne — mens très communs de la part des commençans, et contre lesquels ils ne peuvent assez se tenir en garde : ce sont , en termes de logique, le Cercle vicieux et la Pétition de principe.