CHAPITRE VII

DE LA SPHÈRE

§ I8r. — Propriétés générales. — Cercles de la Sphère , etc.

N8 53 1. Théorème I. Fig. 406.

Toute section d’une sphère OA par un plan CDEF, est un Fig. 40e. cercle.

Eu effet, abaissons du centre O la perpendiculaire OP sur le plan de la section ; et inenous aux divers points de la ligne d’intersection, les rayons OC, OD..., et les droites PC, PD . . . etc. Les obliques OC , OD .... étant égales , on aura aussi (n8 f\io , récipr.) PC= PD = . . . s donc la ligne d'intersection est une circonférence de cercle qui a pour centre le point P et pour rayon la distance PC.

N8 532. Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, le cercle et la sphère ont même centre et même rayon , comme noos l’avons déjà dit (n° 4°7Î- O" nomme Grand Cercle, Y intersection de la sphère et d’un plan GIKL (fig. 4 06) qui passe par son centre, parce que ce cercle est le plus grand que l’on puisse tracer sur sa surface. Les autres sections se nomment des petits cercles.

Tous les grands cercles d’une même sphère, ou de sphères égales, sont égaux.

De plus , — Deux points quelconques , A , C , d’une surface sphérique, déterminent toujours un grand cercle [pourvu qu’ils ne soient pas sur un meme diamètre] : puisque ces deux points

4lO LIV. III; CHXP. TII ; Ç I. —

t'ig.406. et le centre de la sphère déterminent un plan. — Mais si les deux points A, C, étaient les extrémités d’un même diamètre AB, on pourrait y faire passer une infinité de grands cercles.

On peut aussi, par les deux points A , C, faire passer une infinité de petits cercles, puisque l’on peut y faire passer une infinité de plans ; mais, quand on parle d*tin arc de cercle passant par deux points A, C, c’est toujours de l’arc de grand cercle que l’on est censé parler, à moins que l’on n’énonce expressément le contraire.

On peut conclure de là , que

Deux grands cercles , ACBE, ADBF, se coupent mutuellement en deux parties égales : '

Car leur intersection commune AB, passant par le centre O, est un diamètre commun aux deux cercles.

On peut en conclure encore , que

La sphère est une surface convexe ,

C’est-à-dire qu’une ligne droite 11e saurait percer sa surface en plus de deux points : car en menant un plan par cette droite et par le centre, on obtient une circonférence de grand cercle , qui, d’une part, doit contenir tous les points communs à la droite et à la surface sphérique, et qui, d’autre part, n’en peut contenir que deux (n° 87).

N* 533. Le centre du cercle CDEF (fig. 4°6) et celui de la sphère sont sur une même droite perpendiculaire au plan du cercle; cette droite est l’axe du cercle (n° bp. t , coroll. 1"); et l’on nomme Pôi.es (*) du cercle, les points A , B, où cette droite perce la surface sphérique.

Tous les cercles parallèles ont même axe et mêmes pôles.

Tous les points de la circonférence CDEF d’un cercle de la sphère sont également disions [en ligne droite] de chacun de ses pôles , A ou B.

Par conséquent, tous les arcs de grand cercle, CA, DA, menés des différons points de la circonférence CDEF à l’un de

aogle

(*) De to \»m , je tourne.

SPHÈRE ; PROPR. C Éi». 4>>

ses pôles, A ou B, sont égaux puisqu’ils ont leurs cordes Fig. 4°^ égales (n° 90, récipr.)- et les plans de ces arcs sont perpendiculaires à celui de la circonférence puisqu’ils contiennent l’axe de celle-ci. — On dit, par cette raison , que ces arcs sont perpendiculaires au cercle, et par sui te, à la circonférence {voyez le n® 44* 1 scol.) ; et U est clair, d’après ce qui précède , que

Par un point donné sur la surface de la 6phère, on ne peut mener qu'un seul arc de grand cercle perpendiculaire à un grand cercle [ou à un petit cercle] donné, — à moins que le point donné 11e soit un des pôles du cercle donné ( voyez le n° 4^3 , coroll. 1”).

Les arcs de grand cercle menés aux divers points de plusieurs circonférences parallèles, de l’un de leurs pôles communs, augmentent à mesure que ces circonférences sont plus éloignées du pôle. Pour toute circonférence de grand cercle, l’arc de grand cercle mené de chacun de ses points à l’un de ses pôles, est un quart de grand cercle ou un quadrant (n® 19). Enfin, tous les arcs de grand cercle, compris entre deux circonférences parallèles et perpendiculaires à leurs plans, sont égaux.

N° 534. Chaque pôle d’un cercle est déterminé par V intersection de deux arcs de grand cercle perpendiculaires à son plan , et menés respectivement par deux points de sa circonférence [non situés sur le inème diamètre]; et quand il s’agit d’un grand cercle, le pôle se trouve encore à Y extrémité d'un quadrant perpendiculaire.

Réciproquement : — Un cercle est déterminé par un point de sa circonférence et l’un de ses deux pôles ; — et l’on peut , avec ces données , le décrire au moyen d’un compas.

Si l’on suppose la distance rectiligne des deux pointes du compas égale à la corde d’un quadrant [et que ses deux branches soient convenablement courbées] , on pourra s’eu servir, pour décrire sur la surface des circonférences ou dès arcs de grand cercle , pour trouver les pôles d’un grand cercle donné, — etc., etc.