IJ L1V. III; CHAP. TU; § I

N® 533- K y aurait encore à établir, iur la théorie rie» area de cercle trace* aur la sphère, pluticur* théorèmes importana; mai* comme il* se déduisent facilement de ce qui précède , noua ne feront que le* indiquer, en même temps que les propositions sur lesquelles ils reposent ou avec lesquelles ils ont de l'analogie.

Théorème i. — Les arcs de grand cercle perpendiculaires abaisses d’un point donné de la surface sphcriqne, à une circonférence de grand cercle , sont un maximum et un mihimum parmi tous les arcs de grand cercle que l’on peor mener du même point II la même circonférence (voyez le n° 4») j

[On pourrait aussi démontrer la même proposition, ainsi que les suivante* , pour le cas pins général où la circonférence donnée est quelconque].

Théo*. 11. — Les arcs obliques egalement éloignés de l'arc perpendiculaire a un grand cercle , sont égaux (voyez le même numéro).

Théo*, tu. — l-cs arcs obliques sont d’autant plus grands qu'ils sont plus éloignés du plus petit arc perpendiculaire (même numéro).

Théo* it. — L'arc de grand cercle élevé perpendiculairement sur te milieu d'un arc, contient tous tes points de la surface sphérique dont les distances a ses deux extrémités , comptées sur des arcs de grand cercle, sont égales entre elles (voyez le n“ 85].

Fig.406. N° 536. On nomme Calottes Sphériques [et quelquefois zones à une base ], les deux portions dans lesquelles la surface se trouve divisée par un plan CDEF (fig. 406). — Le cercle CDEF est leur base commune. Le sommet d'une calotte ACDEF est le point A où elle est percée par l’axe du cercle CDEF qui lui sert de base ; et sa hauteur est la portion AP de cet axe , comprise entre son sommet et le centre P de la base.

On nomme Segment Sphérique , la portion de sphère comprise entre une calotte sphérique et sa base. — Le segment sphérique a même axe, même hauteur, et même sommet que la calotte correspondante.

On nomme Zone Sphérique, la portion de surface sphérique comprise entre deux plans parallèles , tels que CDEF , GIKL (ûg. q 06) , ou la différence de deux calottes à bases parallèles . — Ces deux bases sont les bases de la zone. Une zone a même dxe que les calottes dont elle est la différence; la portion de cet axe, comprise entre les deux bases, ou la distance de leurs plans, est la hauteur de la zone.

SPHÈRE; PKOPR. GÉN. 4' 3

Oo nomme Tranche Sphérique, la portion de sphère comprise entre deux plans parallèles , ou la différence de deux segmens à hases parallèles . — U 11e tranche sphérique a mêmes bases, même axe, et même hauteur que la zone correspondante.

On nomme Secteur Sphérique, V espace compris entre une calotte ACB (fig. 10) et une surface conique AOB ayant pour Fig.io. sommet le centre O de la sphère et pour base celle de la calotte. — Un secteur se compose ainsi d’un segment augmenté ou diminué d’un cône. Il se réduirait toutefois à un segment si la base de la calotte était un grand cercle. — On nomme base d’un secteur, la calotte qui lui correspond.

On peut considérer une calotte ACB comme engendrée par la révolution d’un arc de cercle AC tournant autour d’un diamètre COD qui passe par l’une de ses extrémités , et la hase de cette calotte comme engendrée par le sinus AI de cet arc.

De même, un' secteur sphérique OACB peut être considéré t> comme engendré par un secteur circulaire OAC tournant autour d’un de ses côtés OC ; — etc. , etc.

On nomme Fuseau Sphérique, chacune des quatre portions de surface sphérique, comprise entre les plans de deux grands cercles ACBE, ADBF (fig. 4°6), qui se coupent, et coin sphé- Fig. 406. rique, la portion de sphère correspondante; on nomme arête, le diamètre d’intersection des deux plans ; ceux-ci sont les faces du coin ; leur angle dièdre est Y angle dièdre correspondant au fuseau ou ait coin qu’ils comprennent ; et cet angle dièdre a pour mesure l’arc de grand cercle compris entre les deux faces, et décrit de l’une des extrémités de l’arète, considérée comme pôle. Le fuseau ou le coin est dit rectangulaire lorsque l’angle dièdre correspondant est droit, ou lorsque l’arc correspondant est un quadrant. — Deux fuseaux ou deux coins sont égaux [sur une même sphère] lorsqu'ils correspondent à des angles dièdres égaux ; et de plus, ils sont proportionnels aux angles dièdres (voyez, Je n° 447)-

4*4 uv. n| ; ch*i». »u ; 5 '• —

Enfin , on appelle Angle de deux abcs de cercle qui se coupent, l’angle de leurs tangentes respectives, menées par leur point d'intersection. Quand il s’agit de deux arcs de grand tig.406. cercle, tels que AC, AD (fig. 4»6) [ayant pour tangentes respectives MAN j RAS] , cet angle , qui n’est autre chose que l’angle correspondant à l’angle dièdre de leurs plans (n° 445) , se mesure par l’arc du grand cercle GI décrit du sommet de l’angle comme pôle * entre ses côtés , prolonges s’il est nécessaire.

Les angles adjacens sont supplémentaires ;

Les angles opposés sont égaux ; — etc., etc.

N® 537. Thêobème IL Fig. 407.

Fig. 407. Quatre points, A, B, C, D, non situés dans un même

plan , déterminent une surface sphérique.

D’abord , trois quelconques de ces points , A, B, C [lesquels, d’après l’hypothèse, ne sauraient se trouver sur une même droite] , déterminent une circonférence qui peut être considérée comme appartenant à une infinité de surfaces sphériques différentes , ayant toutes leur centre sur l’axe PQ du cercle ABC.

Maintenant , supposons que l’on mène un plan par l’axe PQ et par le point D; et soit E l’un des points d’intersection de ce plan avec la circonférence ABC : il sera toujours possible de faire passer, par les deux points D, E, une circonférence qui aura son centre sur l’axe PQ (n° 102 , 4®) , en un point O. Or ce point, ainsi déterminé, sera également distant des quatre points A , B , C , D ; et de plus , il sera le seul dans ce cas. Donc, parmi toutes les surfaces sphériques qui passent par les trois points A, B, C, il y en aura nécessairement une qui passera par le quatrième point D ; et ce sera la seule; C.Q.F. D.

Scolie i*r. — Quatre points situés dans un meme plan ne détermineraient pas une sphère : en effet, si les quatre points sont sur une même circonférence, on peut y faire pas-

— SPHÈRE ; PROPR. GÉ». /J ! 5

ser une infinité de surfaces sphériques différentes ; et s’ils ne sont pas sur une même circonférence , on n’en peut faire passer •aucune.

Scol. 2. — Une suif ace sphérique est déterminée par une circonférence de petit cercle et un point extérieur au plan de cette circonférence , — ou par une circonférence de petit cercle et le centre de la sphère , — ou par une circonférence de grand cercle.

Scol. 3. — Une même portion de surface sphérique ne saurait appartenir à deux sphères différentes.

Corollaire i”. — Deux calottes sphériques sont égales lorsqu’elles ont des bases égales et même hauteur;

En effet , la hauteur de la calotte déterminant le pôle de sa base , détermine la surface (scol. a).

Coroll. 2. — Deux calottes d’une même sphère sont égales lorsqu’elles ont des bases égales et sont de même espèce [plus grandes ou plus petites que V hémisphère (n° 407)]. • •

N* 538. Théorème III.

Tout plan perpendiculaire à F extrémité du rayon est langent à la sphère ; — et réciproquement.

Mêmes démonstrations que pour le cercle (n° 8g).*

Scolie. — On appelle ordinairement normale S one surface courbe, toute perpendiculaire au plan langent , menée par 1* point de tangence (voyez le n° u3g); et plan normal, tout plan passant par une normale; — l'intersection de la surface par un pareilplan se nomme d'ailleurs, une section normal «.

De ces définitions, et de l’nnc des réciproques du théorème précédent, il résulte que

Toute normale a la sphire passe par son centre ( voyez le n»a3g,'.

Corollaire i“. — Par un point donné sur la surface de ta sphère, on ne peut mener qu’un seul plan tangent.

Coroll. 2. — Deux plans tangens menés aux extrémités d’un même diamètre , sont parallèles ; — et réciproquement.

4l6 tiv. III ; CHAI». VII ; JJ I.

N° 53g. Théorème IV. Fig. 406.

/jo6. 1 “ Les petits cercles également distans du centre sont égaux;

20 Les petits cercles sont d'autant plus petits qu’ils sont plus distans du centre.

Et réciproquement.

Dans le triangle rectangle OPC, OC est le rayon de la sphère, PC est le rayon du petit cercle CDEF, OP est la distance du plan de ce cercle au centre de la sphère ; et l’on a : OC* = OPJ+PC’.

On voit donc [comme cela a déjà lieu dans le cercle pour les cordes et leurs distances au centre (n° go)], que, dans une même sphère ou dans des sphères égales,

i° Des valeurs égales de OP doivent donner des valeurs égales de PC ;

Et — 2? Plus les valeurs de OP sont grandes,- plus celles de PC sont petites.

Les réciproques de ces propositions sont évidentes (n° 5i).

Scolie 1". — On voit en même temps, que dans une même sphère ou dans des sphères égalés ,

i° Des cercles égaux entre eux servent de hases à des calottes égales;

20 Des cercles plus petits servent de hases à des calottes plus petites [tant qu? l’on considère seulement des calottes moindres que l’hémisplière] ;

Et réciproquement : — (voyez le n° go, ainsi que les réci- * proques et les scolies .)

Scol. 2. — En considérant comme une corde de la sphère, le diamètre du petit cercle CDEF, on voit

1 0 Que — Les cordes également distantes du centre sont égales;

20 Que — Les cordes sont d'autant plus petites quelles sont plus distantes du centre ;

Et réciproquement.

— SPHÈRE-, PROPR. CÉI». 4l7

Scol. 3. — Taudis qUe la distante d’uu petit cercle au centre de la sphère varie entre zéro et le rayon de la sphère ,1e rayon du petit cercle varie entre le rayon de la sphère et zéro.

A la première limite, on a un grand cercle; à la seconde, le petit cercle se réduit à uu point, et son plan prolongé, de sécant qu’il était, devieut tangent à la sphère (n° 4°9)-

Ne 54o. Théorème V. , Fig. 56. (

La section mutuelle de deux sphères ,0,0 est un cercle.

Soit M l’un des points de l’intersection commune des Fig- 56, deux surfaces. Leurs intersections respectives par le plan OMO' seront deux grands cercles, OM, O'M, dont les circonférences se couperont au point M, et au point N symétrique de M (voyez les n°* q4 et g5). Or, les deux sphères peuvent être considérées comme engendrées respectivement par la révolution de ces deux cercles autour de la droite 00'; et dans cette révolution, les points M et N décrivent une même circonférence de cercle , dont les points sont les seuls communs aux deux surfaces, et qui , par conséquent, est leur ligne d’intersection.

Scolie. • — On peut démontrer pour les sphères sécantes, tangentes, etc., des théorèmes analogues h ceux des numéros q3 — 98, etc.

N0 54» . Un polyèdre est dit inscrit à une sphère lorsqu’il a tous ses sommets sur la surface de la sphère ; et alors la sphère est circonscrite au polyèdre.

Un tétraèdre quelconque est intcriptibie a la sphère (voyez le n° 499» thénr. i ] et le n° 537).

Réciproquement Un polyèdre est circonscrit à une sphère lorcque toutes ses faces sont tangentes à la sphère ; et alors la sphère est inscrite au polyèdre.

Vn tétraèdre quelconque est cireonseriptible h la sphère (n* 499 . théor. m).

4 18 SPHÈRE; PHOPR. GÉN.

Dans la génération de la sphère par un demi-cercle tournant autour du diamètre qui lui sert de corde (n° 4°6), la tangente menée à l’extrémité de ce diamètre , engendre un plan tangent ( n° 4°9)- Toute autre tangente à ce demi-cercle engendre une surface conique ou une surface cylindrique (n° 4»4) [ce dernier cas n’a lieu que pour la tangente parallèle au diamètre] qui peut être dite tangente ou circonscrite à la sphère , puisque tous ses plans tangens sont aussi tangens A la sphère ; et il en est de même de tout système composé de portions de surfaces engendrées ainsi par des tangentes à la demi-circonférence génératrice.

Réciproquement : — Les cordes de la demi -circonférence génératrice engendrent des portions de surfaces coniques ou cylindriques qui peuvent être considérées comme inscrites à la sphère ; [tout petit cercle de la sphère est dans le même cas] ; et il en est de même encore de tout système composé de

pareilles portions de surfaces.

Si» du centre d’an polyèdre régulier comme centre, et d’un rayon égal k son rayon, on décrit une sphère, la surface de cette sphère passera par totls les sommets du polyèdre, et n’aura pas d’autre point commun avec la surface du polyèdre : donc

Tout polyèdre régulier est inscriplible h la sphère.

Si, du centre d’un polyèdre régulier comme centre, et d’un rayon égal à oon apothème, en décrit une sphère, la surface de celte sphère passera par les pieds de tous les apothèmes, et n’aura pas d'autre point commun avec la surface de ce polyèdre ; les faces de ce polyèdre seront donc tangentes & la sphère (n° 409) : «d,,ti

Tout polyèdre régulier est circonscri ptibl: & la sphère.

54*- même que le cercle peut être considéré comme la limite des polygones réguliers inscrits et circonscrits (n° xjo), ou comme un polygone régulier d’un nombre infini de côtes infiniment petits, de même aussi

sphère peut être considérée comme un polyèdre régulier d’une infinité de faces infiniment petites.

Pour prouver cette proposition, reprenons la relation, démontrée précédemment (n® 5 17),