I.iv. III; CHAI*. VU; § II

Fig. $o$. les faces auront pour mesures respectives les côtés du triangle, et dont les angles dièdres seront les mêmes que les angles du triangle (n° 536). Il existe donc une analogie parfaite entre un angle trièdre et le triangle sphérique qu’il détermine sur la surface de toute sphère décrite de sou sommet comme centre. De là vient que l’on peut déduire toutes les propriétés des triangles sphériques, de celles des angles trièdres : ce qui nous permettra de supprimer beaucoup de développemens , pour lesquels nous nous contenterons de renvoyer à la théorie des angles trièdres.

Trois grands cercles qui ne passent pas par un même diamètre, forment toujours huit triangles sphériques. Entre un quelconque de ces triangles et les sept autres, il existe les mêmes relations qu’entre un angle trièdre et les sept autres formés par les mêmes plans (n° 45i). 11 faut surtout distinguer les triangles sphériques symétriques , qui sont dans une ' situation opposée, et qui ont les côtés égaux chacun à chacun mais inversement disposés, et les triangles sphériques conjugués par un côté, dont la somme forme un fuseau correspondant à l’angle opposé à ce côté commun. — Deux triangles sphériques symétriques ont les angles égaux , -etc., etc.

11 faut encore observer, relativement aux quatre couples de triangles sphériques symétriques résultant de l’intersection de la sphère par trois plans, que ces triangles ont leurs sommets homologues situés deux à deux aux extrémités d’un même diamètre. Par suite, les petits cercles circonscrits à ces deux triangles sont égaux et parallèles; et ils ont de plus, leurs pôles communs et situés également aux extrémités d’un même diamètre , lequel est à la fois intérieur ou extérieur aux deux angles trièdres qui correspondent aux triangles proposés, ou contenu à la fois dans deux faces opposées.

Fig 109. N° 544. Soit un triangle sphérique ABC (fig. 40g). Supposons que du point A comme pôle , on décrive un arc de grand cercle bc, du point B comme pôle un autre arc de grand cercle ca, et enfin du point C comme pôle un troisième arc de grand

TRIANGLES SPHÉR.

cercle ab. On obtiendra ainsi deux triangles ABC, abc, tels F'g-4°9» que les sommets de chacun seront les pôles respectifs des côtés de r autre.

En effet, les arcs de grand cercle aB et aC , bC et AA, cA et cB, étant des quadrans, il s’ensuit d’abord que les points a, b, c , sont pôles respectifs des arcs BC, CA, AB.

Et de même, les arcs A b et A c, Bc et Bn, C a et C b, étant des qoadraus, les points A, B, C, sont pôles des arcs bc, ca, ab.

En raison de cette propriété , les deux triauglt» sont dits des triangles polaires l’un de l’autre, ou simplement, des triangles polaires. — Il faut observer que le triangle abc se distingue des autres triangles formés par les trois mêmes cercles, en ce que les angles A et osont situés du meme côté de bc, B et A du même côté de ca, C et c du même côté de ab.

N* 545. Théorème VI. Fig. 4°9*

Tout angle A d’un triangle sphérique ABC a pour mesure le supplément du côté [Ac] qui lui est opposé dans le triangle polaire correspondant [aAc] .

En effet, prolongeons les arcs AB et AC jusqu'aux points B’, C , où ils rencontrent respectivement le côté Ac y B C' sera la mesure de l’angle A (n° 536) ; mais

AB' -f- B’C' — 1 quadrant, et B'C' -f C'c= r quadrant ; donc Ac -+- B'C' = a quadrans ;

— Ce qui prouve la proposition.

Scolie Ier. — On a ainsi, en nommant A, B, C, les angles du triangle proposé , a, b, c, les angles respectivement correspondans de son supplémentaire, et q le quadrant -• ,,

A = 2 q — bc a iq — BC

B = 2 q — ca b 27 — CA

C = iq — aA c — 2.q — AB.

Scol. a. — Il existe donc entre deux triangles polaires, la

même relation qu’entre deux angles trièdres supplémentaires î

/j22 lit. III; CHiP. vu; 5 h,

et en effet, les angles trièdres au centre , qui correspondent à un couple de triangles polaires , ne sont autre chose que deux angles trièdres supplémentaires construits sur le même sommet (voyez le u” 453 , scol.). C’est en raison de celte propriété, que les triangles polaires se nomment encore des triangles supplémentaires; et l’on peut , de même, remplacer le triangle abc par son symétrique opposé.

N* 546. Théorème VII. Fig. 408.

Fig. 4<>8. Dans tout triangle sphérique ABC, un côté quelconque AB

est — i° plus petit queja somme des deux autres , — et — 2° plus grand que leur différence .

En effet : — i° des points A , B, C , menons au centre les rayons OA, OB, OC : les angles AOB, AOC, BOC , auront respectivement mcine mesure que les arcs AB , AC , BC ;

or AOB < AOC + BOC ( n° 454 ) :

donc AB <[ AC ■+■ BC ;

20 Eu supposant AC > BC , on a aussi AB>AC — BC :

car AB 4- BC > AC.

Voyez les corollaires des numéros 80 et 454 , en substituant des ares de grand cercle aux lignes droites (n° 80) , ou aux angles plans (n“ 454).

N® 547. Pour compléter la théorie des triangles sphériques, il faudrait placer ici divers théorèmes analogues à ceux qui ont été démontrés dans la théorie des angles trièdres (u®* 456 et suiv.). — Tels sont les suivans dont nous ne donnerons que les énoncés , parce que la démonstration en est facile à suppléer.

Théorème i. — Dans tout triangle sphérique , la somme des trois côtés est moindre que la circonférence d’un grand cercle

— TRIMICLES SPHÉ*. ' ' 4*3

Théobi u. — Dans tout triangle sphérique, la somme des angles est > 2 droits et <6 droits (nf 457)-

Théor. ut. — \° Lorsque deux côtés d'un triangle sphériqüe sont égaux , les angles opposés sont égaux ;

2° Lorsque deux côtés sont inégaux, au plus grand côté est opposé le plus grand angle ;

Et réciproquement . etc. , etc. {.voyez le n* 458).

U résulte du théorème précédent, que

Un triangle sphérique équilatéral est aussi équiangle ; — et vice vers il :

Dans ce cas , le triangle est régulier; — s’il n’avait que’ deux côtés et deux angles égaux , il serait isocèle.

Un triangle sphérique peut aussi avoir, comme l'angle trièdre qui lui correspond, un, deux, et même trois angles droits ; il est dit alors : rectangle, bireclangle , ou trircctangle (n° 457, scol.).

Enfin , les propriétés du triangle sphérique conduisent à une proposition importante que nous allons démontrer.

N° 548. Théorème VIII. Fig. 410-

Entre deux points , À, H, dune surface sphérique [non Fig.410. situés sur un même diamètre] , le plus court chemin [en suivant la surface ] est te plus petit AB des deux arcs de grand cercle qui vont de T un à Vautre.

Pour prouver cette proposition , nous pouvons d’abord établir les deux axiomes suivans :

l° Que — Les plus courts chemins des divers points d'une circonférence quelconque à l’un de ses pôles, sont égaux pour tous ces points ;

20 Que — Si deux circonférences sont parallèles [et ont par conséquent mêmes pôles], le plus court chemin de l’un des pôles à la circonférence qui en est la plus éloignée , est plus grand que le plus court chemin de ce même pôle à la circonférence qui en est la plus rapprochée.

4*4 LIV. (Il ; CHAP. Vil; § II, —

Ffg.^io. Cela pose, admettons que le plus court chemin de A en B passe par un pointC extérieur à l’arc de grand cercle AB [lequel est supposé moindre qu’une demi-ci rconférencej ; et menons les arcs de grand cercle AC et BG de manière à former uu triangle sphérique ABC. Les arcs AC et BC seront nécessairement moindres que AB : car si, par exemple, AC était plus grand que AB, en décrivant du point A comme pôle, une circonférence de petit cercle passant par le point B , cette circonférence couperait AC en un point D situé entre A et C ; puis, le plus court chemin de A en B serait égal au plus court rliehiin de A en D, conformément au premier axiome , et plus petit que le plus court chemin de A en C, conformément au second ; — Ce qui est absurde d'après V hypothèse.

Les arcs AC et BC étant donc respectivement moindres que l’arc AB, du point A comine pôle décrivons un arc de petit cercle passant par le pointC et coupant AB en £ , et du point B comme pôle un autre arc de petit cercle passant par le même point C et coupant AB en F : le point F sera situé entre les points A et E, puisque AB < AC -f- CB (n° 546).

Maintenant , le plus court chemin entre A et B en passant par E, est égal au plus court chemin entre A et E, plus le plus court chemin entre E et B ; et le plus court chemin entre A et B en passant par C, est égal au plus court chemin entre A et C, plus le plus court chemin entre C et B. Mais le plus court chemin entre A et E est égal au plus court chemin entre A et C ; et le plus court chemin entre E et B est moindre que le plus court chemin entre C et B , puisque ce dernier est égal au plus court chemin entre B et F : donc le plus court chemin absolu entre les points A et B [en suivant toutefois la surface] ne saurait passer par le point C.

Scolie. — Si les deux points A et B étaient les extrémités d’un même diamètre, on pourrait mener de l’un à l’autre une infinité d’arcs de grand cercle qui seraient des demi-circonférences : tous ces arcs seraient autant de plus courts chemins égaux entre eux.

— tmanci.es sphér. 4*5

V 549- H y aurait encore à établir , sur Yégalilé des triangles sphériques, des théorèmes analogues à ceux qui ont été démontrés pour les triangles rectilignes ( n°‘ 169 et suiv.) et pour les angles trièdres (n°’ 460 — 463). Nous pensons qu’il suffira d’en donner les énoncés, et de renvoyer pour leur démonstration, aux endroits cités, eu faisant seulement deux observations: la première, que deux triangles sphériques, et plus simplement, que deux arcs de grand cercle, ne peuvent jamais être égaux que sur la même sphère ou sur des sphères égales; et la seconde, que pour superposer deux arcs ou deux triangles, il faut toujours commencer par faire coïncider les sommets des angles plans ou des angles trièdres qui leur correspondent, et par conséquent les centres des sphères quand elles sont distinctes.

Théorème i. — Deux triangles sphériques sont égaux lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à chacun et semblablement

disposés.

Théor. 11. — Deux triangles sphériques sont égaux lorsqu’ils ont les angles égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

Théor. ut. — Deux triangles sphériques sont égaux lorsqu’ils ont un angle égal compris entre des côtés égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

Théor. tv. — Deux triangles sphériques sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal adjacent à des angles égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

Scolie 1". — Lorsque la disposition-est inverse au lieu d'être la même, les autres hypothèses subsistant, les triangles sphériques sont symétriques entre eux.

Scol. 2. — Un triangle sphérique n’a qu’un seul symétrique (n1 *460, coroll. i*r ).

Deux triangles sphériques symétriques entre eux ne peuvent coïncider que quand ils sont isocèles, etc. — (Voyez les ii°‘ 458, théor. 1 ; 464 ; et 476.)

POLYG. SPHÉR.

[Voyez encore les numéros 4^4 et 4?^ pour le cas où deux triangles sphériques ont seulement deux côtés ou deux angles égaux chacun à chacun , pour celui de deux côtés égaux ainsi que l'angle opposé à l’un d’eux , et enGn pour celui de deux angles égaux ainsi que le côté opposé à l’un d’eux.]

N° 55o. On noiuine Polygone Spiiéiuque , une portion de surface sphérique comprise entre plusieurs arcs de grand cercle [toujours supposés moindres qu’une demi -circonférence ] ; à tout polygone sphérique correspoud un angle polyèdre au centre (voyez le n" 543). — Nous ne nous arrêterons pas à la théorie des polygones sphériques, parce qu’on peut la calquer très aisément sur celle des angles polyèdres ( liv. ni; chap. m, § v) ; nous remarquerons seulement qu’L'n polygone sphérique peut toujours se décomposer en triangles sphériques [lorsqu’il n’est pas lui-même un triangle] , et que — Le j>érimèlre de tout polygone sphérique convexe est moindre que la circonférence d'un grand cercle ( voyez le n° 473).

Deux polygones sphériques sont dits symétriques entre eux lorsqu’ils sont composés de triangles sphériques symétriques chacun à chacun, et inversement disposés; ils ont alors les côtés et les angles égaux chacun à chacun et inversement disposés.

Enfin , on nomme Pyramide Sphérique , V espace compris entre un triangle, ou généralement un polygone sphérique , et F angle trie dre ou polyèdre qui lui correspond. Le Iriaugle ou le polygone est la base de la pyramide. La pyramide est triangulaire quand sa base est un triangle;.... etc. — La théorie des pyramides sphériques est tout-à-fait analogue à celle des triangles et des polygones sphériques ( voyez les n°’ 543 et suiv.).

Théorème «H démontrer : — Si l'on inscrit ou si l’on circonscrit un polyèdre régulier h une sphère , les plans menés par le centre et par les arêtes du polyèdre , décomposeront la sphère en pyramides sphériques régulières égales , et sa surface en polygones sphériques réguliers é gu u JT»