LIV. IH; CHAP. TH; § III

N* 553. Problème III. Fig. 406*

Fig.406. Par deux points , G , I , donnés sur la surface d’une sphère, faire passer une circonférence de grand cercle.

Construction. — Prenons une distance rectiligne égale à la corde du quadrant (n° 534). — 2° De cette distance comme rayon, et des points G , I , comme centres respectifs , décrivons d’un même côté, sur la surface de la sphère, deux [petits] arcs qui se couperont en un point A..

Ce point sera un pôle dont on pourra se servir pour décrire la circonférence cherchée ( voyez le n° 55 1).

N° 554- Problème IV.

Par un point pris sur une circonférence quelconque [de grand ou de petit cercle] tracée sur la sphère , élever une circonférence de grand cercle perpendiculaire à la première.

Fîg.Ga. Supposons que dans la figure 61, le point 0 soit le point donné, et la ligne MN un arc de la circonférence donnée. En employant une méthode analogue à celle que l’on a suivie au numéro 99, on pourra opérer comme il suit a

Construction. — i° Marquons sur MN , de part et d’autre du point O, et à des distances égales, deux points quelconques, A, R. — 2" Des points A et B comme pôles, et d’une même ouverture quelconque de compas [plus grande cependant que OA = OB], décrivons deux [petits] arcs de cercle qui se couperont en un point C. — 3° Menons une circonférence de grand cercle par les deux points 0 et C (u° 553).

C’est la circonférence demandée.

Scouc. — On peut employer cette construction quand on veut

Mener à un petit cercle, pur un point donné sur sa circonférence , une circonférence de grand cercle tangente :

.SPHF.RE J PROBI,.

Pour cela , ü faut mener une circonférence de grand cercle par le point donné et par le centre du cercle donné (n® 553) ; puis élever perpendiculairement à cette circonférence, par le point donné, une autre circonférence de grand cercle.

N° 555. Problème V.

D’un point pris sur la surface de la sphère, abaisser une circonférence de grand cercle perpendiculaire à une circonférence quelconque tracée sur cette surjace.

Supposons encore que dans la fgure 62 , C étant le point Fig.6j. donné, la ligne MN représente un arc de la circonférence donnée. — Cela posé (voyez le n° 100) :

Construction . — i" Du point C comme pôle , décrivons un arc de cercle qui coupe l’arc MN en deux points, A, B. — 2° Des points A et B comme pôles respectifs , et d’une même ouverture de compas suffisamment grande, décrivons deux arcs de cercle qui se coupent. — 3° Par l'un des points d’intersection,

E, de ces arcs, et par le point C, menons une circonférence de grand cercle (n° 553).

Ce sera la circonférence cherchée.

Scolie 1". — On obtiendrait une seconde construction en modifiant d’une manière convenable la seconde du numéro 100.

Scol. 2. — On peut encore, par un moyen analogue.

Mener une circonférence de grand cercle qui partage en deux parties égales les diffèrens arcs de cercle que Von peut tracer sur la sphère par deux points donnés (voyez le n° 101).

N° 556. Problème VI.

Par trois points donnés sur une sphère , mener une circonférence de cercle.

On mène , par le problème précédent (n° 555 , scol. 2) , deux circonférences de graud cercle dont tous les points soient ,

43o Ltv. III ; CHAP, VII ; $ III. —

pour chacune, egalement distans des points donnés pris deux à deux. Ces deux circonférences se coupent en deux points qui sont les pâles du cercle cherché (voyez le n° 534).

Scoue. — On peut encore, par le même moyen,

Trouver les pôles d'un cercle donné.

N° 557. Problème VII.

Mener a un petit cercle, par un point quelconque situe hors de ia circonférence , mais sur la surface de la sphère, une circonférence de grand cercle tangente. . '.

66. En supposant que, dans la figure 66, OA soit le cercle donne [O étant le pôle], et T le point donne, sniToos .l'opération du numéro 106 :

Construction. — r° Dn pointT comme pôle , et d’une ouverture de compas égale A TO . décrivons un arc de cercle. — a° Du point U comme pô|e, et d’une ouverture de compas égale .H la cordc du douhlc de l'arc. de grand cercle mère du point ü S un point quelconque de la circonférence OA , décrivons un petit arc qui conpe le premier en un point P. — 3® Menons l’arc de grand cercle OP coupant la circonférence donnée eu uu point A ( n* 553), — 4° Menons la circonférence de grand cercle TA.

Ce sera la circonférence demandée.

N° 558. Remarques sur les problèmes de géométrie sphérique. — Les problèmes précédent sont les principaux et en même temps les plus simples que l’on puisse avoir à résoudre par rapport A la surface et aux cercles de la sphère , c'est A -dire sur le paragraphe premier de ce chapitre. 11 en est cependant un grand nombre n’autresque nous aurions pu nous proposer, particulièrement des problèmes relatifs aux contacts, tel , par exemple, que le suivant :

Tracer une circonférence de grand cercle tangente a deux petits cercles donnés (rayes le n° i5g);

Etc-, etc.

Nous ne nous occuperons point des problèmes de ce genre, pour lesquels nous nous contenterons de renvoyer aux Annales de Mathématiques , ainsi qn'à un Mémoire de M . Aiph Hbcghirs, inséré dans le Recueil de la Société royale de Lille (année i8a5).

Relativement nu paragraphe deuxième , nous pourrions égalcifaent nous proposer, sur les triangles sphériques, des problèmes analogues A cenx que nons avons résolus dans le premier Livre (chap^iy,^ Iv) sur les triangles rectilignes. La résolution de celle sorte de problèmes peut s’effectuer de deux manières, soit directement, au moyeu de ceux qui viennent d'étre traites

— 6PHÉB. ; PHOBI.. ^3,

(no* 55i-557j voyez aussi le n" 54;)), soit indirectement, par le* angle* tricilrc* correspondons, à la cunitriirliua desquels la question peut toujour* <?trc ramenée (no* 543 ; et 467 — 4?*)' Nou* ne pouvons qu’indiquer ce» exercice»; et nou* allons terminer ce troisième Livre par quelques observations fort impôt Un tes, dont nou* somme* ledevablc au savant rédacteur des Annale * de Jiathvnm tique* .

N» 559. « Nous avons vu (n« 534 et 5r}) que J’hypotéon.e du triangle » isocèle rectangle dont les deux côté* .le l'angle droit sont égaux au rayon »d’>me sphère, ou ce qui est la même chose, la corde du quadrant ** (n* 534 ), est l’ouverture de compas qu’il tant employer |iour décrire » des grands cercles sur cette surface. Quand on u plusieurs arc» do grand cercle » 4 décrire sur une même sphère, on peut y employer un compas à ouverture v fixr. égale h cette hypoténuse; et comme, sur la sphère , le» arc* .le grand •• cercle jouent le même . Ale que joue la ligue droite sur un plan, M. (Xer- •' cos ke appelle un pareil comptas , le co mpas-riqle. Uu autre compas, 4 » ouverture variable, servira h décrire des arcs de petits cercles de tomes |> grandeur» » : — (se. Icrncut, il sera bon de donner 4 se* branches une disposition qui permette d’incliner les pointe* l’une sur l’niitrc sous un augle quelconque, en les lixant, pour chaqno circonférence que l’ou voudra décrirc, 4 une distance déterminée. Le cumpas ordinaire, ainsi légèrement modifie, pourrait se uomtuer un compas sphérique].

« Nous venons de dire que l’arc de grand cercle jouait sur la sphère, le » racine rôle que joue la ligne droite sur le plan, mais en ce sens seulement » que par deux points donnés sur une sphère, on peut toujours mener uu ••arc de grand cercle, et un seul, qui mesure leur plus courte distance. Il •• y a d’ailleurs entre l’un et l’antre une différence notable: car, tandis que «deux droites ne peuvent se couper qu’en un point unique, deux grands ' » cercles se coupent toujours en deux points; et tandis que deux droites » peuvent être tellement située* sur un plan , qu’elles ne puissent pas se ren- " c°nlrer» deux grands cercles sur une sphère se rencontrent toujour». XI » n 'existe donc pas de parallèles sur lu sphère, ni conséquemment de trian- " gles semblables. Il n’y a de parallèles ni de triangles semblables, que sur deux >• sphères concentriques.

a XI suit de 14, que tout théorème de géométrie plane qui ne peut être dé- " montré, que tout problème qui ne peut être résolu, qu’en vertu de la » théorie des parallèle, ou d’autre, théorie, qui reposent nécessairement . u sur celle-14 , n a point d’analogue sur la sphère; et tels sont , par exemple

* k\lWrimc' reU,if* » ®~«« de. augle. par le cercle , et le. problème!

* qui s y rapportent.

» Mai. comme, dan. tou. le. cas où deux triangles rectiligne, sont égaux .. deux triangle, sphérique, le sont aussi, il s’ensuit que tout théorème où

* problème de genmetrie plane, qui peut être démontré ou résolu par la -seule considéra U011 .le l’égalité de. triangles, peut être transporté sur la

4 3a SPHÈRE ; PROBE.

» sphère par la simple substitution îles me» <le grand cercle , aux lignes v droites, ou du compas h ouverture fixe, & la règle, et en remplaçant les « centres de* cercle», par leurs pâles.

» Nous avons employé lout-i-l’heurc le mot nécessairement, et voici !> pourquoi. On peut, dans la démonstration d’un théorème on dans la réso- „ Julien d'un problème, employer la théorie des parallèle* ouïes théorie* » qui en dépendent, sans que cela soit nécessaire, et uniquement par été- » gance; et alors le" théorème ou le problème pourra avoir son analogue » sur la sphère : la démonstration ou la construction devra seulement en être «convenablement modifiée. Par exemple, la deuxième construction que » nous avons donnée (n“ 1 5^ scot. 3) de la tangente an cercle par un point «extérieur, repose sur la théorie des angles inscrits, et cette construction «ne saurait être transportée sur la sphère, mais la première construction « dn même problème ( n° io6) ne dépend aucunement de la théorie des » parallèles, et c’est celle-16 que noos avons imitée (n °55ç) pour mener par » un point donné sur la sphère, un grand cercle qui touche nn petit cercle » donné. ,

u II y a aussi certains problèmes de géométrie plane qu’on ne peut résoudre » sans employer la théorie des parallèles, et que pourtant on peni sc pro- » poser de retondre sur la sphère; mais alors leur construction sur la sphère » n'a aucun rapport avec leur construction sur un plan. Mous citerons pour » exemple, le problème où l’on propose de — Décrire un grand cercle qui «.(onc/ie à ta fois deux petits cercles donnes (n° 558). »