DE LA SIMILITUDE

N° 56o. Ayant fixé dans le Livre deuxieme (n°25i et tuiv.) les caractères généraux de la similitude, nous n’avons plus maintenant qu’à appliquer aux figures considérées dans l’espace, les principes établis en cet endroit.

Ainsi, les propriétés de toutes les figures dans l’espace dépendant de celles du tétraèdre, de la meme manière que les propriétés des figures planes dépendent de celles du triangle , c’est la définition des tétraèdres semblables qui servira de base à la théorie des figures semblables dans l’espace.

Or, un tétraèdre étant déterminé par ses six arêtes (n° 4*/' . scol.) , il s’ensuit que

Deux tétraèdres, SABC , S'A'BC' (fig. 41 !)> sont semblables lorsqu’ils ont les arêtes correspondantes proportionnelles: c’est-à-dire lorsqu’on a, entre ces arêtes [considérées dans un ordre convenable qui doit être le même pour les deux tétraèdres] , les proportions

S A ^SR SC AR CA RC S'A' S'il' ==S7C7=rAR'“CA'~ R'C*

434 r.iv. i»; cwap. i. —

De cette définition il résulte d’abord, que

Deux tétraèdres semblables ont les faces semblables cha- ' cune à chacune, les angles trièdres et les angles dièdres égaux, chacun à chacun.

Si le» arêtes «ont proportionnelles et inversement disposées (n* 4g5, Fig.ijta. fis- 4ia), Mort les deux tétraèdres «ont inversement semblables. — Deux tétraèdre» inversement semblables jouissent de tonies Iss propriétés que l'on vient de reconnaître aux tétraèdres semblables , excepté que les faces sont inversement semblables, et que les angles trièdres homologue» sont symétriques au lieu d’étre égaux.

Il en résulte encore les conséquences suivantes :

Deux tétraèdres sont semblables [ou inversement semblables] lorsqu’ils ont trois faces semblables chacune à chacune et semblablement [ou inversement] disposées;

Deux tétraèdres semblables [ou inversement semblables] à un troisième, sont [directement] semblables entre eux ;

Deux tétraèdres semblables sont égaux lorsqu’ils ont une arête homologue égale;

Deux tétraèdres inversement semblables sont réciproquement semblables à leurs symétriques ;

Et enfin : —Deux tétraèdres inversement semblables sont symétriques lorsqu'ils ont une arête homologue égale-

N° 56i . Maintenant , un polyèdre d’un nombre quelconque de faces étant déterminé par un assemblage de tétraèdres qui le composent, il s’ensuit que

Deux polyèdres sont semblables lorsqu’ils peuvent se décomposer en un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés ;

Et que — Deux polyèdres sont inversement semblables r lorsqu'il s peuvent se décomposer en un même nombre de tétraèdres inversement semblables chacun a chacun et inversement disposés .

Ensuite, ces définitions étant admises, il en résulte les conséquences suivantes :

Deux polyèdres semblables [ou inversement semblables] à un troisième sont [directement] semblables entre eux ;

— S1MIL. DANS l’eSP. ^35

Deux polyèdres semblables sont égaux lorsqu’ils ont une arête homologue égale ;

Deux polyèdres inversement semblables sont réciproquement semblables a leurs symétriques ;

Et enfin — Deux polyèdres inversement semblables sont symétriques lorsqu’ils ont une arête homologue égale.

N° 56a. On nomme points homologues , dans deux figures semblables [[directement ou inversement] :

i° Les points homologues de leurs faces (n° 254),

a° Les points qui sont liés aux faces homologues par des tétraèdres (n° 56o) semblables et semblablement disposés.

On nomme lignes homologues , les lignes que déterminent deux couples de points homologues chacun à chacun.

On nomme sections homologues , les polygones résultant de l’intersection de deux polyèdres semblables, par deux plans que déterminent trois couples de points homologues chacun à chacun [ou des lignes homologues].

N* 565. Théorème I. Fig. /ÇiSet 4*4.

Tout plan A'B'G' parallèle à Vune des faces ABC (F un tétraèdre SABC [pourvu qu’il ne passe pas par le sommet opposé S], détermine, conjointement avec les trois autres faces, un tétraèdre semblable (fig. 4*3) [ou inversement semblable (fig. 4i4)] au premier [suivant que les deux plans parallèles sont du |j|. même côté du sommet, ou que le sommet est entre les deux plans parallèles].

En effet , les droites A'B’, B'C', C'A', étant respectivement parallèles aux droites AB , BC, CA (n° 3g4) , il en résulte