MÉTHODES

Le cercle vicieux est un raisonnement dans lequel , pour démontrer une proposition, l’on s’appuie, soit implicitement, soit explicitement, sur une autre proposition qui, d’après la marche qu’on a suivie , ne peut, au contraire, être elle-même démontrée qu’à l’aide de la première.

La pétition de principe est un raisonnement dans lequel, pour démontrer une proposition, l'on s’appuie sur la proposition elle-même. — C’est donc une sorte de cercle vicieux.

Un jugement sain et une attention soutenue paraissent suffire pour préserver de ces deux écueils ; cependant ou ne peut se dissimuler que la mémoire ne soit également nécessaire , en tenant sans cesse présent à l’esprit , soit rordre des différentes propositions, soit V enchaînement des diverses parties d’une même démonstration. Nous ne saurions donc trop recommander aux élèves de faire tous leurs efforts pour se bien pénétrer de cet ordre et de cet enchaînement , puisque c’est toujours en perdant de vue l’un ou l’autre, que l’on s’expose à commettre, dans le premier cas , un cercle vicieux , et dans le second , une pétition de principe.

Rien n’est plus propre à prémunir l’esprit contre ces grossières violations des premiers principes de la Logique , que de consulter souvent, ou même d 'apprendre par cœur le Programme ou la Table des matières que nous avons placée au commencement du volume ( voyez d’abord le n° i5). Cette Table, loin d’être négligée, doit être au contraire considérée comme faisant partie intégrante, et nous oserons même dire, comme étant la partie principale du Cours, puisqu’elle en représente en quelque sorte la charpente ou le squelette , sur lequel toutes les autres pièces viennent s’appuyer (*).

N° 5.j. Voyons maintenant ce qui est relatif aux problèmes.

La résolution d’un problème graphique (n“ 38) peut donner lieu à l'emploi de deux Méthodes distinctes: I’Analyee, ou la Synthèse.

(*) Mou» engageons, pour la même raison , le» élèves à se taire eux-mêmes un Programme plu» détaillé , présentant dans une série complète et suivie , les définitions et les énoncés des théorème» et de leur» principaux corollaires.

Fig. i5.

Lorsqu’on veut procéder par la méthode analytique, on tommence par supposer le problème résolu , c’est- à-dire par décrire sans instrument , et tant bien que mal , une figure à laquelle on suppose les propriétés exigées par l’énoncé (*). Alors , par une suite d’opérations préparatoires et de conséquences successives tirées des relations qui lient les données aux inconnues , ou tâche de découvrir quelque construction (n° 38) qui, réellement exécutée , conduirait à la véritable solution ; ou bien , on ramène la question proposée à d’autres questions plus ou moins simples que l’on sait déjà résoudre. C’est ce qui s’appelle faire l’analyse du problème.

La méthode synthétique est l’inverse de la précédente : elle consiste à prescrire tout d’abord les opérations à effectuer, sauf à prouver ensuite que le résultat de cette construction satisfait aux conditions du problème.

N° 55. Pour donner un exemple de l’emploi de chacune de ces deux méthodes , proposons-nous le problème suivant ï

Deux points , A et B (fig. i5), étant donnés sur un plan, trouver dans ce plan un troisième point C qui soit à une distance du point A , égale à 3 unités de longueur, et à une distance du point B , égale à 2 unités.

Si l’on veut procéder par Y analyse , voici comment on raisonnera :

» Supposons le problème résolu, et soit C le point cherché. » — En menant les droites AC , BC, on aura AC égal à 3 unités, » et BC égal à 2. Or, tous les points qui sont à une distance » du point A , égale à 3 , sont situés sur une circonférence dé-

(*) H arrive ainsi bien souvent , .dans la démonstration des théorèmes comme dans la résolution des problèmes , que les constructions ont seulement pour but de diriger le raisonnement. En pareil cas, il n’est pas necessaire qu’elles soient faites avec beaucoup de soin, ni que l’on sache sur quels principes elles sont fondées, ou par quels moyens on pourrait les effectuer. Il suffit de tracer grossièrement des lignes auxquelles on suppose les propriétés dont il est question; et l’on conçoit sans peine que les vérités générales découvertes il l'aide de pareilles figures, sont tout aussi rigoureusement établira que si les opérations graphiqnes eussent élé parf.iilrmcn (exécutées.