DES AIRES

§ I". — Mesure des Surfaces des Polyèdres , du Cylindre , et du Cône.

N° 571. L’aire (n°* o.et 33g) de la surface d’un polyèdre étant égale à la somme des aires des diverses faces qui le terminent, il sera toujours aisé de la calculer, ainsi que celle des figures dont les surfaces sont développables. Nous n’aurons , sur ce sujet , que quelques observations à faire et quelques propositions à démontrer.

Il est facile de reconnaître tout d’abord,

Que — Les aires des surfaces des polyèdres symétriques [et par suite des figures symétriques quelconques ] sont équivalentes ;

Que — Les aires des surfaces des polyèdres [ou des figures] semblables , sont proportionnelles aux carrés de leurs arêtes [ou de leurs lignes] homologues , puisque ce rapport est celui des faces homologues prises partiellement ;

Que — Les aires des sections homologues sont dans ce même rapport ;

Etc., etc.

N° 67a. Théorème 1. — (*)

L'aire de la surface .latérale d’un prisme droit est

(*) Dans le» énonce» de» théorème» relatif» aux mesure» d'aire» et de volumes, qui doivent terminer l’ouvrage, nous rappelons aux élèves qu'ils peuvent ne s’astreindre à retenir de mémoire, que le» mot» écrits en italique. Ainsi pour le suivant: — L'aire de la surface latérale d’un prisme droit a pour mesure, le produit. . . . etc.

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équivalente à celle d’un rectangle qui aurait pour base le périmètre [rectifié] de la base du prisme, et pour hauteur une arête ; — et par conséquent elle a pour mesure [en prenant pour unité d’aire celle du carré qui a pour côté l’unité de longueur (n° 33g)], le produit du périmètre de sa base par une arête.

En effet, cette surface n’est autre chose qu’une série de rectangles adjacens deux à deux , ayant une arête pour hauteur commune , et dont la somme des bases compose le périmètre de la base du prisme.

Corollaire i*r. — L’aire de la surface totale d’un prisme régulier [les bases comprises] a pour mesure le produit du périmètre de sa base par la somme faite dé une arête et de Va~ poihème de cette base.

Coroll. 2. — Le cylindre devant être assimilé aux prismes, les propositions précédentes lui sont applicables. — Ainsi

L’aire de la surface latérale d'un cylindre droit est équivalente à celle d’un rectangle qui aurait pour base, la circonférence [rectifiée] de la base du cylindre et son arête pour hauteur;

Par conséquent — elle a pour mesure le produit de la circonférence de sa base par une arête.

Ces propositions résultent d’ailleurs de ce que l’on a vu précédemment (n° 492) sur Ie développement de la surface latérale du cylindre.

Coroll. 3. — L’aire de la surface totale d’un cylindre circulaire droit a pour mesure, le produit de la circonférence de sa base , multipliée par la somme faite de son arête et du rayon de cette base.

Scolie. — L'aire de chaque base d’un cylindre circulaire droit est à celle de sa surface latérale, comme le rayon de cette base est au double de l'arête du cylindre.